重要几何模型12-5 全等三角形之手拉手模型-【高分突破系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第十二章 重要几何模型5 全等三角形之手拉手模型 1 手拉手模型特点 手拉手模型特：两个等腰三角形；共顶点；顶角相等。 因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型。 该模型可从“旋转”的角度进行思考，常见的模型如下图 旋转后对应边间的夹角相等. 2 常见的解题技巧 1 遇旋，造等边三角形 2 遇旋，造等腰直角三角形 3 遇等腰旋顶角，造旋转全等 ④ 遇中点旋，造中心对称. 【题型1】 基本模型 【典题1】 如果两个等边三角形和，连接与，与的交点设为, 证明：(1)；(2)；(3)与的夹角为； 【典题2】 如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE． 【巩固练习】 1.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，AC为边作等边△ABD和等边△ACE，连结DE，若BC＝4，则ED＝ . 2.如图，D为△ABC内一点，AB＝AC，∠BAC＝50°，将AD绕着点A顺时针旋转50°能与线段AE重合． (1)求证：EB＝DC； (2)若∠ADC＝125°，求∠BED的度数． 3.如图，两个正方形和，连接与，二者相交于， 问：(1)； (2)；(3)求与之间的夹角；(4)平分. 4.(1)问题发现： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． 填空：①∠AEB的度数为　 　； ②线段AD，BE之间的数量关系为　 　． (2)拓展探究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，求∠AEB的度数，并说明理由． 【题型2】 模型变式综合练习 【典题1】如图，，，，，垂足为． (1)求证：△ABC≌△ADE；(图1) (2)求∠FAE的度数；(图1) (3)如图2，延长CF到G点，使BF＝GF，连接AG．求证：CD＝CG；并猜想CD与2BF+DE的关系． 【典题2】如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM． (1)求证：BE＝AD，并用含α的式子表示∠AMB的度数； (2)当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明． (3)若连接CM，如图1，则∠AMC与∠EMC相等吗，若相等请加以证明． 【巩固练习】 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． (1)求∠ADB的度数； (2)线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由． 2.如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD． ​ (1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由． (2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，记AC与DE的交点为O，AC与BD的交点为F，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． (3)如图3，若将(2)中的△ABE与△DCE都换成等边三角形，其他条件不变，试判断BD与AC的数量关系以及BD与AC所夹的锐角的度数，并说明理由． 3.如图1，△ABC是等边三角形，点E在AC边上，点D是BC边上的一个动点，以DE为边作等边△DEF，连接CF． (1)当点D与点B重合时，如图2，求证：CE+CF＝CD； (2)当点D运动到如图3的位置时，猜想CE、CF、CD之间的等量关系，并说明理由； (3)只将条件“点D是BC边上的一个动点”改为“点D是BC延长线上的一个动点”，如图4，猜想CE、CF、CD之间的等量关系为　 　(不必证明)． 1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE．当AD＝BF时，∠BEF的度数是(　　) A．45° B．60° C．62.5° D．67.5° 2.如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥点H是线段DC的中点．正确的有(　　) A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3.如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． (1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数． 4.在数学探究课上，老