习题3.4. 相似三角形的判定与性质（习题课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（湘教版）

九（上）数学教材习题 习题 3.4 湘 教 版 解：有三对相似三角形：△ABC 与 △DBE（,∠B公共）;△DAF 与 △DBE（,∠D公共）；△ABC 与 △DAF（∠DAF=∠B,∠BCA=∠E=∠AFD）. 1. 如图，已知 △ABC 和 △DBE，且 BD = 2BA，BE = 2BC，DE = 2EF．试指出图中有几对相似三角形，并说明理由． A 组 2. 证明：有一个底角相等的两个等腰三角形相似. 已知：如图，等腰△ABC 的底角∠B 与等腰△A′B′C′ 的底角∠B′ 相等. 求证：△ABC ∽ △A′B′C′. 证明：∵ AB= AC，A′B′ = A′C′， ∴ ∠B =∠C，∠B′ =∠C′. 又∵∠B =∠B′，∴∠C =∠C′. ∴△ABC ∽ △A′B′C′. A 组 3. 如图，∠1 = ∠2，AB·AD = AC·AE. 求证：△ABC ∽△AED. 证明：∵∠1 = ∠2， ∴∠1 +∠CAE = ∠2 +∠CAE. 即∠BAC =∠EAD. 又∵AB·AD = AC·AE，即 = ， ∴ △ABC ∽△AED. A 组 4. 如图，已知点 O 是△ABC 内任一点，连接 OA，OB，OC，点 D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点. 求证：△ABC ∽△DEF. 证明：∵ 点 D，E，F 分别是 OA，OB，OC 的中点，∴ DE = AB，EF = BC，DF = AC. ∴ = = = . ∴ △ABC ∽△DEF. A 组 5. 如图，已知△ABC ∽△A′B′C′，且 AD，BE 是△ABC 的高，A′D′，B′E′ 是△A′B′C′ 的高. 求证：AD·B′E′ = A′D′·BE. 证明：∵△ABC ∽△A′B′C′， 且 AD 和 A′D′，BE 和 B′E′ 分别是对应边上的高， ∴ = . ∴ AD·B′E′ = A′D′·BE. A 组 6. 两个相似三角形的一组对应边的长分别为10cm 和 20 cm. （1）若它们的周长之差是 60 cm，则较大的三角形的周长是多少？ 解：设大三角形的周长是 L cm，则小三角形的周长为 (L – 60) cm，根据题意，得 = ，解得 L = 120. ∴ 较大的三角形的周长是 120 cm. A 组 6. 两个相似三角形的一组对应边的长分别为10cm 和 20 cm. （2）若它们的面积之和为 260 cm2，则较小的三角形的面积是多少？ 解：设小三角形的面积为 S cm2，则大三角形的面积为 (260 – S) cm2. 根据题意得 = ，解得 S = 52. ∴ 较小的三角形的面积是 52 cm2. A 组 7. 如图，在△ABC 中，AB = AC，∠A = 36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D. 若 AC = 2，求 AD 的长. 解：∵ AB = AC，∠A = 36°，∴ ∠ABC =∠C = (180° –∠A) = 72°. 又∵BD 平分 ∠ABC，∠CBD =∠ABD =∠A = 36°. ∴△ABC ∽△BDC，∠BDC =∠C = 72°. ∴ = ，BC = BD = AD. ∴ = ，解得 AD = – 1. B 组 8. 如图，点 O 是 △ABC 外一点. 分别在射线 OA，OB，OC 上取 点 A′，B′，C′，使得 = = = 3，连接 A′B′，B′C′，A′C′. 问所得的△A′B′C′ 是否与△ABC 相似？请说明你的理由. 解：△A′B′C′ 与 △ABC 相似. 理由如下：由 = = ，∠A′OB′ =∠AOB，∠B′OC′ = B 组 ∠BOC，∠A′OC′ =∠AOC，得△A′OB′ ∽ △AOB，△B′OC′ ∽△BOC，△A′OC′ ∽△AOC. ∴ = = = = . ∴△A′B′C′ ∽△ABC. B 组 9. 如图，△ABC 为锐角三角形，AD 是边 BC 上的高，正方形 EFGH 的 一边 EF 在 BC 上，顶点 G，H 分别 在 A