2.4 一元二次方程根与系数的关系（word教案）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（湘教版）

*2.4　一元二次方程根与系数的关系 1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点) 2．会利用根与系数的关系解有关的问题．(难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积同原来的方程有什么联系？ (1)x2－2x＝0； (2)x2＋3x－4＝0； (3)x2－5x＋6＝0. 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根与系数的关系 利用根与系数的关系，求方程3x2＋6x－1＝0的两根之和、两根之积． 解：这里a＝3，b＝6，c＝－1， Δ＝b2－4ac＝62－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0， ∴方程有两个实数根． 设方程的两个实数根为x1，x2， 那么x1＋x2＝－2，x1·x2＝－. 方法总结：由一元二次方程根与系数的关系可求得．如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝. 探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值 设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． (1)(x1＋2)(x2＋2)；　　(2)＋. 解：根据根与系数的关系，得x1＋x2＝－2，x1x2＝－. (1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－＋2×(－2)＋4＝－. (2)＋＝＝＝＝－. 方法总结：先确定a，b，c的值，再求出x1＋x2与x1x2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x1＋x2与x1x2的值整体代入求解即可． 【类型二】 利用根与系数的关系求方程的根或字母系数的值 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一根及k的值． 解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－， ∴x1＝－.又∵x1＋2＝－， ∴－＋2＝－，∴k＝－7. 方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和． 【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用 已知α、β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，求m的值． 解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根， ∴α＋β＝－(2m＋3)，αβ＝m2. 又∵＋＝＝＝－1， 化简整理，得m2－2m－3＝0. 解得m＝3或m＝－1. 当m＝－1时，方程为x2＋x＋1＝0， 此时Δ＝12－4＜0，方程无解， ∴m＝－1应舍去． 当m＝3时，方程为x2＋9x＋9＝0， 此时Δ＝92－4×9＞0， 方程有两个不相等的实数根， 综上所述，m＝3. 易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m的值，但一定要代入判别式验算，字母m的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略． 三、板书设计 引导学生经历探索，尝试发现根与系数的关系，感受不完全归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合、判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神． $$ *2.4 一元二次方程根与系数的关系 一、学生知识状况分析 “一元二次方程根与系数的关系”是《一元二次方程》中继“一元二次方程的解法”之后的一个学习内容，学生已学习的用公式法解一元二次方程中的求根公式是本节课的基础。基于初中三年级学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，所以在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。 二、教学任务分析X k B 1 . c o m 本节是从相关知识的复习入手，目的是在巩固旧知的基础上为后续学习打铺垫，再通过计算、比较、分析、归纳发现根与系数的关系，发展学生的感性认识，合作意识，让学生体会由特殊到一般的认知过程。根与系数的关系也称为韦达定理（韦达是法国数学家），韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，如二次三项式的因式分解，解二元二次方程组；韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。同时通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、探究精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。为此，确定本节课的教学目标为： 1