专题01 一元二次方程（优质类型，10大类型）-2023-2024学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

01一元二次方程 【专题过关】 类型一、配方法的应用 【解惑】我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．解：， ，∴   ，即的最小值是  试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知，求的最小值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)如图，在中，，点在边上以/的速度从点向移动，点在边上以/的速度从点向点移动．若点，同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值．    【融会贯通】 1.（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如： ①用配方法分解因式： ． 解：原式： ②， 利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法因式分解； (2)若 ， 求M的最小值． 2．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式 ； 例如：求代数式的最小值为．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______； (2)当a为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 3．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式于的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如： 分解因式：． 求代数式的最小值：． ∵，∴，∴当时，有最小值，最小值是． 根据材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 4．（2023春·四川达州·七年级校联考期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：    (1)【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】 如图，中，，，，点、分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，值为多少？ 5．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法．我们已学习了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法还能解决二次三项式的最值问题．阅读如下材料，完成下列问题： 材料：对于二次三项式求最值问题，有如下示例： ．因为，所以，所以，当时，原式的最小值为2． 完成问题： (1)求的最小值； (2)若实数满足．求的最大值． 类型二、换元法的应用 【解惑】阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，∴；当时，，∴ 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)利用换元法解方程得到方程的解为______． (2)若，求的值． (3)利用换元法解方程：． 【融会贯通】 1．（2023·全国·九年级假期作业）阅读下面的材料： 解方程这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， ∴原方程可化为， 解得，， 当时，，， 当时，，． ∴原方程有四个根是，，，． 以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想． 运用上述方法解答下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数，满足，试求的值． 2．（2023·全国·九年级专题练习）阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点．