福建省宁德第一中学2023-2024学年高二上学期暑期数学周测2（2023.8.13）

宁德一中2023年08月13日数学周测卷 一、单选题 1．九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需要移动的最少次数，数列满足，且则（    ） A．1 B．4 C．7 D．16 2．已知数列满足=，，则数列的通项公式为（    ）. A． B． C． D． 3．已知数列满足，．设，若对于任意的，．恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．下列说法正确的有（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列可看作是一个定义域为正整数集（或其有限子集）的函数 C．数列的前n项和为，则数列是等差数列 D．若等差数列的公差，则是单调递减数列 5．设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（    ） A．为递减数列 B． C．当时，最小 D．当时，的最小值为4047 三、填空题 6．若正项数列满足（，），且，则 ． 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2－9n＋1，则其通项an＝ ． 8．已知无穷等差数列中的各项均大于0，且，则的最小值为 . 四、解答题 9．已知等比数列的前项和为，，． (1)求等比数列的通项公式； (2)求的值． 10．已知数列满足，，． (1)证明：是等差数列； (2)记数列的前项和为，求最小的正整数，使得 $$ 1．C 【详解】. 故选：C. 2．B 【分析】构造是等差数列，根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以, 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以,所以. 故选:B. 3．A 【分析】根据给定条件，求出数列，的通项，再求出数列的最大项作答. 【详解】由数列满足，，得是首项为1，公比为的等比数列，， 于是，， 当，时，当且仅当时取等号，当时，， 因此当时，数列单调递增，当时，数列单调递减， 则当或时，，而任意的，恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点睛：涉及求数列最大项问题，探讨数列的单调性是解题的关键，可以借助作差或作商的方法判断单调性作答. 4．BD 【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，逐一判断各个选项是否正确， 从而得出结论. 【详解】对于A，因为数列与数列，两个数列的顺序不同， 所以它们不是相同的数列，故A错误； 对于B，从函数的观点看，数列可看作是一个定义域为正整数集（或其有限子集 )的函数，故B正确； 对于C，当时，， 当时，， 因为不满足，所以， 所以，所以，即， 故数列不是等差数列，故C错误； 对于D，若等差数列的公差，即， 则是单调递减数列，故D正确. 故选：BD 5．BC 【分析】首先讨论数列的单调性，判断A；根据单调性，确定，判断B；根据的意义，结合AB选项的判断，再判断C；结合等比数列的性质，以及AB选项的判断，即可判断D. 【详解】A.由条件可知，，与同号，所以，则， 而，则公比， 若，数列单调递减，则，那么，与已知矛盾， 若，则，则那么，与已知矛盾， 只有当，才存在，使，所以等比数列单调递增，故A错误； B.因为，单调递增，所以， 则，即，故B正确； C.因为，且，所以当时，最小，故C正确； D.根据等比数列的性质可知，，， 所以当时，的最小值为4046，故D错误. 故选：BC 6． 【分析】由题意可得，从而可得数列是首项为，公差的等差数列，从而可求得，进而可求解. 【详解】因为（，），所以， 所以数列是首项为，公差的等差数列， 所以，又因为，所以. 故答案为： 7．　 【详解】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n＋1－(n－1)2＋9(n－1)－1＝2n－10，又a1＝S1＝－7≠2×1－10，所以an＝ 点睛：给出与的递推关系求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求. 应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起. 8． 【分析】根据题意，设等差数列的公差为，分析可得的取值范围，由求出，则有，构造函数，利用导数可求出其最值，从而可得答案. 【详解】根据题意，设等差数列的公差为，由于无穷等差数列中的各项均大于0，则， 由于，则，解得或（舍去）， 所以， 因为，所以， 令（），则， 由，得，得，解得或（舍去）。 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得最小值， 所以的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题才查等差数列的性质的应用，考查导数的应用，解题的关键是由已知求出，则，然后构造函数，利用导数可求得其最小值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 9．(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的求和公式及通项公式可求