4.6 一元二次方程的根与系数的关系　　课件　2023—2024学年青岛版数学九年级上册

4.6 一元二次方程根与系数的关系 x= (b2-4ac≥0) 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式： 解下列方程并完成填空： 方程 两根 两根和 x1+x2 两根积 x1x2 x1 x2 x2-7x+12=0 x2+3x-4=0 3x2-4x+1=0 2x2+3x-2=0 3 4 12 7 1 -3 - 4 - 4 -1 -2 1 算一算： 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2, 则 那么x1+x2 ，x1x2 = 证明:设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用x1+x2= 时, 注意“－ ”不要漏写. 那么x1+x2 ，x1x2 = 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么 x1+x2=___, x1x2=____. －P q 一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又 称之为韦达定理. 说出下列各方程的两根之和与两根之积： (1) x2 - 2x - 1=0 (3) 2x2 - 6x =0 (4) 3x2 = 4 (2) 2x2 - 3x + =0 x1+x2=2 x1x2=-1 x1+x2= x1+x2=3 x1+x2=0 x1x2= x1x2=0 x1x2= - 说一说： 例1.关于x的方程3x2+mx-4=0有一个根是2,求另一个根及m的值. 解:设方程的另一个根为x1,则由一元二次方程根与系数 的关系,得 由(2),得 ,代入(1), 得 . 解得m=-4 所以,方程的另一个根是 ,m的值是-4. 例2.设x1,x2是方程2x2+5x+1=0的两个根,求下列各式的值：(1) (x1+1)( x2+1) , 解:由一元二次方程根与系数的关系，得 练习1.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值. 解法一: 设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系,得 2＋ x2 = k+1 2x2 = 3k 解这方程组,得 x2 =-3 k =-2 答:方程的另一个根是-3, k的值是-2. 解法二： 设方程的另一个根为x2. 把x=2代入方程,得4-2(k+1)+3k=0 解这方程,得 k=- 2 由根与系数的关系，得2x2＝3k 即2x2＝-6 ∴ x2 ＝-3 答:方程的另一个根是-3 ,k的值是-2. 关于两根几种常见的求值 1.已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值. 试一试： 解:把1代入方程有：3-19+m=0.∴m=16． 设方程的另一个根是x2， 由两根之和有: x2+1= . ∴x2= ． 故答案分别是： ,16． 2.设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根, 求(x1+1)(x2+1)的值. 解： 由根与系数的关系,得 x1+x2= - 2 , x1 · x2= ∴ (x1+1)(x2+1) = (x1+x2)+x1 x2 +1 =-2+( )+1= 4 1 14 12 求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入. 2.熟练掌握根与系数的关系； 3.灵活运用根与系数关系解决问题. 1.一元二次方程根与系数的关系？ 小结： $$