4.1 一元二次方程　课件　2023—2024学年青岛版数学九年级上册

4.1 一元二次方程 要设计一座2m高的人体雕像,修雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高？ 雕像上部的高度AC,下部的高度BC 应有如下关系： 设雕像下部高xm,于是得方程 整理得 x2＋2x－4=0. ① x2=2(2－x) A C B 2cm 问题1 :如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100－2x）cm,宽为（50－2x）cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得 (100－2x)(50－2x)=3600. 整理，得4x2－300x+1400=0. 化简，得 x2－75x+350=0 . ② 由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸． 问题2: 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 设应邀请x个队参赛,每个队要与其它（x－1）个队各赛1场,由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 场． 列方程 整理,得 化简,得 ③ 由方程③可以得出参赛队数. 全部比赛共4×7＝28场 方程① ② ③有什么特点？ 1.这些方程的两边都是整式， 2.方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2. ③ x2－75x+350=0 ② x2＋2x－4=0 ① 像这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程. 1.判断下列方程,哪些是一元二次方程（ ） (1)x3-2x2+5=0; (2) 　 (3) 2(x+1)2＝3(x+1)； (4) x2-2x＝x2+1； (5) ax2+bx+c＝０ (3) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项， b是一次项系数；c是常数项． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 例1.把方程(2x+1)(3x-2)=x2+2化为一元二次方程的一般形式，写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数、一次项系数. 解:将原方程去括号,得 6x2+3x-4x-2=x2+2 移项,合并同类项,得5x2-x-4=0 方程的二次项为5x2,一次项为-x,常数项为-4;二次项系数为5,一次项系数为-1. 跟踪训练:将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项． 3x2-3x=5x+10. 移项,合并同类项,得一元二次方程的一般形式: 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3,一次项系数为-8,常数项为-10.　　　　　　　 解:去括号,得 1.将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解:方程(1)整理为5x2-4x-1=0;其中二次项系数为5,一次项系数为-4,常数项为-1. 方程(2)整理为4x2-81=0;其中二次项系数为4,一次项系数为0,常数项为-81. 练 习 解:方程(3)整理为4x2+8x-25=0;其中二次项系数为4,一次项系数为8,常数项为-25. 方程(4)整理为3x2-7x+1=0;其中二次项系数为3,一次项系数为-7,常数项为1. 2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25， 求正方形的边长x； 解：设其边长为x，则面积为x2 4x2=25; 4x2-25=0. (2)一个矩形的长比宽多2,面积是100,求矩形的长x； x(x－2)=100. x2－2x－100=0. 解：设长为x，则宽（x－2） (3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x； x·1 = (1－x) 2 x2－3x＋1=0. 解:设其中的较短一段为x,则另较长一段为（1－x） (4)一个直角三角形的斜边长为10,两条直角边相差2，求较长的直角边长x． x2+(x-2) 2=102. x2－2x-48=0. 例2.若关于x的方程(k+3) x2- kx +1=0是一元二次方程，求k的取值范围. 解: k +3≠0,即k ≠-3. 等号两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的方程,叫做一元二次方程. 1.一