3.4 直线与圆的位置关系第3课时　　　课件　2023—2024学年青岛版数学九年级上册

3.4 直线与圆的位置关系第3课时 1.理解切线长的概念，掌握切线长定理． 2.学会运用切线长定理解有关问题． 3.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想． 2 1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 2.这样的切线能画出几条？ 如下左图,借助三角板,我们可以画出PA是⊙O的切线. 3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数. 50° 130° O P A B 3 O A B P 如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？ . 思考:已画出切线PA,PB,A、B为切点,则∠OAP=90°, 连接OP,可知A,B 除了在⊙O上,还在怎样的圆上? 4 O · P A B O 5 过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？ · O P A B 切线长概念 6 切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线,不能度量； 2.切线长是线段的长,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点,可以度量. O P A B 比一比：切线与切线长 7 O A B P 1 2 思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆沿着直线OP对折,你能发现什么? 折一折 8 请证明你所发现的结论. A P O B PA=PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°， ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB. 证一证 9 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B, ∴PA=PB,OP平分∠APB. 过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等. 几何语言: O P A B 切线长定理 10 反思:切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法 PA =PB ∠OPA=∠OPB 11 若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB A P O B M 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点， ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB. ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线. ∴OP垂直平分AB. 试一试 12 若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明. CA=CB 证明:∵PA，PB是⊙O的切线, 点A,B是切点， ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB. 又∵ PC=PC. ∴△PCA≌△PCB ，∴BC=AC. A P O . B C 13 （3）连接圆心和圆外一点 （2）连接两切点 （1）分别连接圆心和切点 . P B A O 反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形. 想一想 14 探究：PA，PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,直线OP交⊙O于点D,E,交AB于点C. （1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP （2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC B A P O C E D 15 △AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP，△AOB （3）写出图中所有的全等三角形 B A P O C E D 16 例1.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长. 例题 A F E B D C O 17 【解析】 设AF=x,则AE=x ∴CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x. 由BD+CD=BC可得13-x+9-x=14， 解得x=4. ∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm. A F E B D C O 18 例2.如图,P为⊙O外一点,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B是切点,BC是⊙O的直径. (1)求证：AC//OP; (2)如果∠APB=70°,求 的度数． 解:（1）证明：连接OA，AB，AB交PO于点D. ∵PA,PB分别切⊙O于A，B两点 ∴OA=OB,PA=PB,OP=OP △AOP≌△BOP ∴∠OPA=∠OPB,OP平分∠APB,∴PD⊥AB, ∠PDA=90°.又∵BC是⊙O的直径 ∴∠CAB=90°∴AC//OP. (2) ∵PA=PB,∴∠PAB=∠PBA ∵∠APB=70o ∴∠PBA= (180o-∠APB)= ×(180o-70o)= 55o ∵BC是⊙O的直径, ∴∠CBP=90o ∴∠ABC=∠CBP-∠PBA=90o-55o=35o ∴ 的度数=2×∠