3.1 圆的对称性第1课时　　课件　2023—2024学年青岛版数学九年级上册

3.1 圆的对称性第1课时 ？ 复习提问： 1.什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形. 如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形 2.圆是轴对称图形吗？ 如果是,它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的? 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线, 它有无数条对称轴. ●O 可利用折叠的方法即可解决上述问题. O A C B N M D 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 结论 用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论? 圆是轴对称图形,过圆心的任一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴. 探究 结论 问题:你知道赵州桥吗?赵州桥又名安济桥,建于隋大业(公元605-618)年间,距今已1400年,是著名匠师李春建造.主桥拱是圆弧形,跨度（弧所对的弦）长37. 02米, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m,是当世界上跨度最大、建造最早的单孔敞肩型石拱桥. 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 7 8 思考 1.如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD, 使CD⊥ AB,垂足为E. (1)这个图形是轴对称图形吗? 若是,那么它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些相等 的线段和弧?请说明理由. C . O A E B D (1)是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线 (2) AE＝BE， C . O A E B D 因为折痕AE与BE互相重合， A点与B点重合. 动动脑筋 已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB,垂足为E.求证： AE=BE, C . O A E B D 叠 合 法 证明:连结OA、OB,则OA＝OB.因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴,又是⊙ O的对称轴.所以,当把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,A点和B点重合,AE和BE重合, 分别和 重合.因此AE＝BE， C . O A E B D 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理： ①直线CD过圆心O ② CD⊥AB 几何语言： · A B C D O P ③ ⑤ ④ AP=BP, 13 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 题设 结论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. 符号语言: ∵CD是直径,AB为⊙O的弦,且CD⊥ AB, 垂足为E A B D E O C 文字语言： 图形语言: ∴AE=BE, 15 议一议： 如图,当直径CD平分弦AB时,CD与AB垂直吗？ 吗？ 如果弦AB也是直径,上述结论是否成立？ 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. A B D E O C 不成立 垂直,相等 符号语言: ∵CD是直径,AB为⊙O的弦(不是直径), 且AE＝BE ∴CD⊥AB, A B D E O C 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备: 1.过圆心; 2.垂直于弦;3.平分弦 4.平分弦所对的优弧; 5.平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 注意： 例1.如图,以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D,且AC=BD.求证：OA=OB. 证明:作OE⊥AB,垂足为点E. 由垂径定理,得 CE=DE. ∵AC=BD∴AC+CE=BD+DE,即AE=BE. ∴OE为线段AB的垂直平分线. ∴OA=OB. 例2.1400多年前,我国隋朝时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)为37.02 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.23 m. 求拱桥所在圆的半径（精确到0.1 m）. 解:设拱桥所在圆的半径为R(m).如图,用 表示拱桥, 的圆心为O.经过点O作弦AB的垂线,垂足为点D,与 交于点C. ∵OC⊥AB ∴D是线段AB的中点，C是 的中点， CD就是拱高. ∵AB=37.02,CD=7.23 ∴AD= AB= ×37.02=18.51 OD=OC-CD=R-7.23 在Rt△ODA中,由勾股定理,得 OA2=AD2+OD2 即R2=18.512+(R