2.1 锐角三角比　课件　2023—2024学年青岛版数学九年级上册

2.1 锐角三角比 问题 :为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 情 境 探 究 2 这个问题可以归结为,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A＝30°,BC＝35m,求AB 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 可得AB＝2BC＝70m， 也就是说，需要准备70m长的水管． 【解析】 3 1.在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m， 那么需要准备多长的水管？ 结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于 思 考 A B C 50m 35m B ' C ' AB'＝2B'C'＝2×50＝100(m) 4 在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得: 因此 A B C 2.如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C＝90°,∠A＝45o,计算∠A的对边与斜边的比 ,你能得出什么结论？ 5 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 A B C 6 一般地,当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 结论 综上可知,在一个Rt△ABC中,∠C＝90°,当∠A＝30o时,∠A的对边与斜边的比都等于 ,是一个固定值；当∠A＝45°时,∠A的对边与斜边的比都等于 ,也 是一个固定值. 问题 是 7 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C',使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系. 你能解释一下吗？ 探究 A B C A' B' C' 8 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大 9 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA 即， 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 正 弦 函 数 10 探究 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？ A B C 邻边b 对边a 斜边c 11 当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即 12 1.sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角 (注意数形结合，构造直角三角形). 2.sinA、 cosA是一个比值（数值）. 3.sinA、 cosA 的大小只与∠A的大小有关，与直角三角形的边长无关。 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 13 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是惟一确定的吗？ 想一想 14 在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与邻边的比是一个固定值. 所以 问： 如图,Rt△ABC和Rt△A′B′C′,∠C=∠C′=90o,∠A=∠A′=α 由于∠C=∠C′=90o，∠A=∠A′=α， 所以Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′ 有什么关系？ 即 15 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°, 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切, 记作 tanA. 一个角的正切表示定值、比值、正值. 16 A B C ┌ 思考：锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？ 可以大于1吗？ 对于锐角A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA都有唯一的确定的值与它对应，所以把锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的三角比. 可以 可以 17 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡比)，一般用i表示，即i＝ ，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角(或称倾斜角)． 坡度i与坡角α之间的关系：i＝ ＝tan α. 例1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90o,a=2,b=4.求∠A的正弦、余弦、正切的值. 解:如图,在Rt△ABC中，∠C=90o ∵a=2,b=4， ∴ 例2.如图, 例3.如图,在Rt△ABC中,两直角边AC=12,BC=5, 求∠ A的三角比. 解:在Rt△ABC中,AC=12,BC=5,∠C =90o，得 例4.如图,在平面