习题24.3 正多边形和圆（习题课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（人教版）

九（上）数学教材习题 习题 24.3 人 教 版 完成下表中有关正多边形的计算： 1. 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60° 4 1 6 120° 2 1 90° 90° 2 8 4 120° 60° 2 2 12 复习巩固 要用圆形铁片截出边长为 a 的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？ 2. 解：如图，连接AC． ∵∠D = 90°， ∴ AC 为 ⊙O 的直径． 在Rt△ACD中，AC = = a， ∴ 选用的圆形铁片的半径至少为 a． 复习巩固 正多边形都是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪里？正多边形都是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心在哪里？ 3. 答：正多边形都是轴对称图形. 当正多边形的边数为奇数时，它的对称轴是顶点与其中心的连线所在的直线；当正多边形的边数为偶数时，它的对称轴是顶点或任意边的中点与其中心的连线所在的直线. 正多边形不都是中心对称图形. 当正多边形的边数为偶数时是中心对称图形，对称中心是正多边形的中心；当正多边形的边数为奇数时不是中心对称图形. 复习巩固 如图，H，I，J，K，L 分别是正五边形 ABCDE 各边的中点. 求证：五边形 HIJKL 是正五边形. 4. 证明：在正五边形 ABCDE 中，AB = BC = AE，∠A =∠B =∠C． ∵ I，H，L 分别为 BC，AB，AE 的中点， ∴ AL = AH = BH = BI = IC． ∴△AHL ≌ △BIH ≌ △CJI（SAS）． ∴ HL = IH = JI，∠AHL =∠BHI =∠BIH =∠CIJ． 复习巩固 ∴∠LHI =∠HIJ. 同理可得：LK = KJ = IJ = HI = HL，∠HLK =∠LKJ =∠KJI =∠LHI =∠HIJ，即五边形 HIJKL 的各边相等，各内角也相等. ∴ 五边形 HIJKL 是正五边形. 复习巩固 如图，要拧开一个边长 a = 12 mm 的六角形螺帽，扳手张开的开口 b 至少要多少？ 5. 解：如图，连接 AC，AD． 易得 CD = a = 12 mm，AC = b，∠ACD = 90°，∠ADC = 60°， ∴∠CAD = 30°． ∴ AD = 2CD = 24 (mm)． ∴ AC = = = 12 (mm)， 即扳手张开的开口 b 至少要 12 mm． 综合运用 如图，正方形的边长为 4 cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积. 6. 解：设这个正八边形的边长为 x cm． 由勾股定理得 2[ (4 – x)]2 = x2， 解得 x1 = – 4 – 4 (舍去)，x2 = – 4 + 4 . ∴ 这个正八边形的边长为 (4 – 4) cm． ∴ 剪下的小三角形的直角边长为 (4 – x) = 4 – 2 . ∴ S正八边形 = S正方形 – 4S小三角形 = 42 – 4× (4 – 2 )2 = 32 – 32 (cm2)． 综合运用 用 48 m 长的篱笆在空地上围成一个绿化场地，现有四种设计方案：正三角形、正方形、正六边形、圆. 哪种场地的面积最大（可利用计算器计算）？ 7. 解：①当围成一个正三角形时，其边长为 48÷3 = 16(m)，此时 S△ = ×16×8 = 64 (m2)； ②当围成一个正方形时，其边长为 48÷4 = 12 (m)，此时 S正方形 = 12×12 = 144 (m2)； ③当围成一个正六边形时，其边长为 48 ÷6 = 8 (m)， 综合运用 此时 S正六边形 = 6× ×8×4 = 96 (m2). ④当围成一个圆时，其半径为 (m)，此时 S圆 = π = (m2). ∵ 64 ＜144＜96 ＜ ， ∴ S圆 最大. 答：用 48 cm 长的篱笆围成一个圆形的绿化场地时面积最大. 综合运用 把圆分成 n (n≥3) 等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正 n 边形. 如图，⊙O 的半径是 R，分别求它的外切正三角形、外切正方形、外切正六边形的边长. 8. 解：半径为 R 的圆外切正三角形的边长为 2 R，外切正四边形的边长为 2R， 圆外切正六边形的边长为 R. 拓广探索 $$