【数学思想】第2讲：整体思想在三角函数中的应用-备战2024高考数学二轮复习讲义

第2讲 整体思想在三角函数中的应用 “整体思想”是高中数学的一类最基本、最常用的数学思想。整体思想要求我们在处理数学问题时，将需要解决的问题视为一个整体,从不同侧面、不同角度,全面地分析问题的整体形式、整体结构,或对整体结构作适当调整、变形,从而达到找出解题思路或简便方法的目的。 运用整体的思想方法解题，在思维方向上，既有正向的，也有逆向的，在思维形态上，既有集中的，也有发散的，既有直观的，也有抽象的。运用整体的思想方法解题，常与换元法结合起来，对题目进行整体观察、整体变形、整体配对、整体换元、整体代入，在运用整体的思想进行转化问题时一定要注意等价性。 三角函数是高考的重点与难点，公式相对较多，应用比较灵活，不少学生由于公式使用不恰当，常常陷入纷繁的运算中，在解答某些函数题的时候，若能仔细观察题目，注意与已知条件的联系，实现等价转化，采用整体思想进行求解，往往能起到很好的效果。例如整体思想在正切函数定义域、在三角函数单调性、对称性、值域，在给值求值问题中都有广泛的重要应用。而本文会重点就整体思想在三角函数中的几类应用展开详细讲解。 【应用一】整体思想在已知求解或中的应用 我们在学习三角函数的概念及同角三角函数的基本关系，诱导公式及三角恒等变换时，会遇到给值求值的试题，有时待求的给值求值会比较好化简，可以拼凑角或借助同角关系求解，但有时也会遇到这样一类题，给定的值，待求或的值，常规利用同角三角函数及恒等变换转化也可以求解，解题思路为： ①第一步：对原方程“”平方得到的值或的值 ②第二步：对待求式子进行平方，进而代入第一步的值，结合角度象限范围求解的值 ③第三步：利用即可求解 此方法解题时稍过于繁琐，那有没有简洁一点的解题方法呢？我们不妨先来证明一个恒等式 ， 证明：，，相加可得 ， 而此公式就是整体思想的应用，可以做到“知一求一”，也就是说，在后续学习中，再有给定的值，待求或此类题型，我们都可以用整体思想来求解，例如下面这道例题： 【例1】（2023·山西阳泉·统考二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 通过观察及上述方法介绍的学习，本题用常规方法计算稍显繁琐，我们可以直接使用整体思想来求解， 从而达到提升解题能力的效果 【思维提升】 通过本题我们不难发现，对于给定的值，待求或的值时,往往可以利用整体思想知一求一来直接求解，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究稍复杂型的同类题型求解。 【变式1.1】（2022·湖北武汉·统考三模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若，，则（    ） A．1 B． C． D． 【应用二】整体思想在三角函数求单调性、对称轴及对称中心的应用 我们在学习三角函数图象与性质及三角恒等变换综合时，会遇到这样一类题，给出对应的三角函数的解析式，求解三角函数的单调性和对称性。我们有时的想法是能不能先直观画出图象或通过伸缩平移变换得到图象，然后从图象直接读出单调性和对称性，但有时题目中出现的三角函数解析式较为繁琐，取值计算量较大，变换过程也复杂，不宜从此角度着手；那此类题型有没有高效统一的解题方法呢？答案就是我们即将介绍的整体思想，其实刚才的作图思想也是整体思想在五点作图法中的应用，那么何为整体思想呢？我们又该如何使用呢？整体思想主要方法是把看作一个整体,本质就是整体换元,再类比正弦函数、余弦函数的图象与性质进行求解。例如求（）的单调区间,可以把看作一个整体,类比正弦（余弦）函数的单调区间,将“”代入即可解得与之单调性一致的单调区间,应用此法,同样可用来求（）的对称中心与对称轴问题;例如下面这道例题： 【例2】（2023·四川模拟改编）已知函数，则下列关于的性质的描述正确的有（    ） A． 关于点对称 B． 的最小正周期为 C． 在上单调递减 D．关于直线对称 在我们求解三角函数的图象和性质时，经常用到整体思想，而本题也可以直接使用整体思想求解，但细心的同学会发现，函数名前面有一个负号，那么这个负号有什么用呢？会对的单调性有影响吗？这其实在我们学习函数的概念和性质时就已经知道，和的图象是关于轴对称的，也就是说：两者单调性相反，对于本题来说，选项C是求函数的单调递减区间，而我们则需等价本题来求单调递增区间，这也是此类考点的易错点，同学们需多注意带负号的题型。而负号对于对称中心和对称轴没有影响，可直接用整体思想求解即可. 【思维提升】 通过本题我们不难发现，对于三角函数的图象与性质综合问题,往往可以利用整体思想直接求解，如较复杂型函数则可通过诱导公式或三角恒等变换公式,将其转化为形如