11.1与三角形有关的线段（讲+练，10题型）-【重要笔记】2023-2024学年八年级数学上册重要考点精讲精练（人教版）

11.1与三角形有关的线段 三角形的定义 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 注意： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 题型1：三角形相关概念 1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　） 【变式1-1】关于三角形的三个内角，下面说法错误的是（    ） A．必须有一个内角不大于60° B．必须有一个内角不小于60° C．最少有两个锐角 D．最多有两个锐角 【变式1-2】在△ABC中，BC边的对角是（　　） A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D 三角形的分类 (1)按角分类： (2)按边分类： 注意： ①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 题型2：三角形的分类 2.用集合来表示“按边把三角形分类”，下面集合正确的是（　　） 【变式2-1】将一个三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（　　） A．都是直角三角形 B．都是钝角三角形 C．都是锐角三角形 D．是一个直角三角形和一个钝角三角形 【变式2-2】图中锐角三角形的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型3：三角形的计数问题 3.课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（ ） A.2 B.3 C.5 D.6 【变式3-1】如图，以点A为顶点的三角形有 个，它们分别是 ． 【变式3-2】如图，称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形，则图中的共边三角形有（    ）对． A．8 B．16 C．24 D．32 题型4：三角形三边关系的应用 4.已知三角形的两边长分别为2和7，则该三角形的第三边长可以为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【变式4-1】一个三角形的两条边长分别为3，5，周长为11，那么它的第三边长为 ． 【变式4-2】已知：的周长为，三边长，，满足，，求的三边长． 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的差小于第三边. 注意： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 题型5：三角形三边关系的证明 5.已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上，如图，求证：BD－BC＜AD－AB. 【变式5-1】如图，在中，D是上一点，且，连结，在下面各空格中填入“>"或“<”，并说明理由． （1）AB__________． （2）__________CD． 【变式5-2】请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明． 已知：如图，．求证：，，． 题型6：三角形中的分类讨论 6.等腰三角形的两边长满足|a﹣5|+（b﹣9）2＝0.求这个等腰三角形的周长. 【变式6-1】已知a、b、c为的三边长，且b、c满足，a为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【变式6-2】等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边长. 三角形的稳定性   三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 题型7：三角形的稳定性 7.人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　） A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【变式7-1】如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接的三角形组成的，这里面蕴含的数学原理是（    ）    A．同位角相等，两直线平行 B．三角形具有稳定性 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【变式7-2】为使五边形木架（用5根木条钉成）不变形，哥哥准备如图①那样再钉上两根木条，弟弟准备如图②那样再钉上两根木