湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期开学考试(暑假作业检测)数学试题

2024届高三暑假作业检测试卷 数学 本试卷共8页.时量120分钟.满分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知（为虚数单位），其中，为实数，则，的值分别为（ ） A. ，1 B. 1， C. 1，1 D. ， 3. 设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ） A. 1 B. 17 C. 1或17 D. 8 4. 为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会，学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002人，高二1002人，高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播，那么高三年级被抽取的人数为（ ） A 36 B. 42 C. 50 D. 54 5. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 某学生进行投篮训练，采取积分制，有7次投篮机会，投中一次得1分，不中得0分，若连续投中两次则额外加1分，连续投中三次额外加2分，以此类推，连续投中七次额外加6分，假设该学生每次投中的概率是，且每次投中之间相互独立，则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 已知圆，以下四个结论正确的是（    ） A. 过点与圆M相切直线方程为 B. 圆M与圆 相交 C. 过点可以作两条直线与圆M相切 D. 圆M上的点到直线的距离的最大值为3 11. 在平面直角坐标系中，点是抛物线的焦点，两点、在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线方程为 B C. 以为直径的圆的方程是 D 、、三点共线 12. 定义在上的函数的导函数为，且，则对任意，下列结论成立的是（ ） A. B. C. 不存在，使得 D. 存在，使得 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，，则__________. 14. 设等差数列的前项和为，已知，则__________. 15. 已知函数，则______． 16. 当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知分别为内角的对边，且. （1）求角； （2）若，的面积为，求的值. 18. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求. 19. 如图所示，直三棱柱中，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20. 元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动.在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表： 一般 激动 总计 男性 90 120 女性 25 总计 200 （1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？ （2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的上顶点，是等边三角形，的内切圆的面积为. （1）求椭圆的方程； （2）已知在轴负半轴上且，过的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值. 22. 已知函数. （1）若在处的切线方程平行