3.1.2 函数的表示法（6大题型）精讲-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

3.1.2 函数的表示法 重点：1、函数的三种表示方法；2、根据条件求函数的解析式；3、根据实际情境，选择恰当的函数表示法解决问题； 难点：1、求函数的解析式；2、用解析法和图象法表示分段函数. 一、函数的表示方法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用解析式可求任意函数值。 缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有解析式。 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值； 缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系。 3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。 优点：能形象直观地表示函数的变化情况； 缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大。 二、描点法作函数图象的三个关注点 1、画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； 2、图象时实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； 3、要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心圈。 三、函数解析式的四种求法 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式； （2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程； （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题 （1）先令，注意分析的取值范围； （2）反解出x，即用含的代数式表示x； （3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得。 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式， 然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件， 可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出 四、分段函数 1．定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． 2．性质：（1）分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集； 各段函数的定义域的交集是空集． （2）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 题型一 函数的表示方法 【例1】（2023秋·广东·高一校联考期末）已知函数，分别由下表给出， x 0 1 2 1 2 1 x 0 1 2 2 1 0 则 ；满足的x的值是 ． 【变式1-1】（2023秋·高一课前预习）已知函数由下表给出，则满足的x的值为（ ） x 1 2 3 2 3 1 A．1或3 B．1或2 C．2 D．3 【变式1-2】（2022秋·高一课时练习）一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天（0时～24时）体温的变化情况的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·全国·高一专题练习）某同学到长城旅游，他租自行车由宾馆骑行前往长城，前进了akm，觉得有点累，休息后沿原路返回bkm（）.想起“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进.则该同学离起点的距离s与时间t的图象大致为（ ） A． B． C． D． 题型二 待定系数法求解析式 【例2】（2023·高一课时练习）已知是反比例函数，且，则的解析式为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·高一假期作业）已知一次函数满足，则（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式2-2】（2022秋·贵州黔东南·高一校联考阶段练习）一次函数满足：，则( ) A．1 B．2 C．3 D．5 【变式2-3】（2022秋·陕西榆林·高一校考期中）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式. 【变式2-4】（2022秋·江苏南通·高一江苏省如皋中学校考阶段练习）已知，为一次函数且为增函数，若，求的表达式． 题型三 换元法/配凑法求解析式 【例3】（2022秋·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考阶段练习）设函数满足，则的表达式为 ． 【变式3-1】（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）已知，则的解析式为（