21.2.4一元二次方程根与系数的关系 课件 +教案2023-2024学年人教版九年级数学上册

分课时教学设计 第二课时《一元二次方程根与系数的关系》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2.4的内容,一元二次方程根与系数的关系(也称韦达定理)，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。 学习者分析 从学生心理特征来看，他们有一定的分析问题、归纳问题的能力。因此本节课，注重激发学生的求知欲，让他们真正成为学习的主人。所以在教学中我抓住这些特点一方面运用色彩绚丽的图片课件，激发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面，我创造机会和条件，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，充分体现新课程所倡导的以学生为本的理念。 教学目标 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题. 3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力. 教学重点 一元二次方程根与系数关系 教学难点 让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，能运用根与系数的关系解决待定字母及代数式求值问题。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 教师活动1： 【提问】 1. 一元二次方程的一般形式？ 2. 一元二次方程有实数根的条件是什么？ 3. 一元二次方程的求根公式是什么？ 学生活动1： 学生思考，回忆回答问题 活动意图说明： 先回顾解一元二次方程的相关知识，为本节课学生学习一元二次方程根与系数关系做好铺垫。 环节二：新知探究 教师活动2： 思考： 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0 这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2. 于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： (x1+x2)=-p，x1x2=q. 学生活动2： 先由学生思考，再由教师给出答案 学生积极回答，允许学生有不同的观点 通过引导，学生得出：可以将方程10x-4.9x2=0，通过因式分解变形为：x(10-4.9x)=0。 学生积极思考，学生板演 学生积极思考，教师引导与总结 活动意图说明：通过求解一元二次方程的过程，锻炼学生选择合适方法解一元二次方程的能力。再通过小组讨论环节，引导学生通过观察，得出一元二次方程根与系数关系的猜想。教师通过适当引导，培养学生解决问题的能力，激发学生的主动性和求知欲 环节三：新知探究 教师活动3: 思考： 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 根据求根公式可知，， 由此可得 × 一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系为：=. 学生活动3： 学生思考，利用求根公式解方程。 教师通过多媒体展示具体推导过程。 活动意图说明：推导韦达定理的方法不难，但是重在学生理解推导方法。第一种推导方法是利用求根公式，从而得出一元二次方程两个根的和与积的关系。第二种方法已知一元二次方程两个根x1、x2，先利用因式分解法将方程变形为a(x-x1)(x-x2)，再通过化简得到：a[x2-(x1+x2)x+x1x2] 而 ax2+bx+c=a(x2++)，所以a(x2++) =a[x2-(x1+x2)x+x1x2]，从而得出一元二次方程两个根的和与积的关系。使用韦达定理需要特别注意：首先将一元二次方程化为一般式，再验证Δ是否大于等于0。以一元二次方程根与系数的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力。 环节四：典例精析 教师活动3： 例：根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x2－6x－15＝0; (2) 3x2＋7x－9＝0; (3) 5x－1＝4x2. 例、设x1、x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , （2) x1·x2= , （3) = , （4)