1.2 空间向量基本定理 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理 我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示(平面向量基本定理).类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量 a，b，c来表示呢? 想一想 如图1.2-1，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O.对于任意一个空间向量p=，设为在i，j所确定的平面上的投影向量. 空间向量基本定理 因此，如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p=xi+yj+zk. 我们称xi，yj，zk 分别为向量P在i，j，k上的分向量. 空间向量基本定理 能否证明唯一性？ 在空间中，如果用任意三个不共面的向量a，b，c 代替两两垂直的向量i，j，k你能得出类似的结论吗? 探究 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得 p=xa+yb+zc 基底 如果三个向量a，b，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p=xa+yb+zc，x，y，z∈R}. 这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底 (base)，a，b，c都叫做基向量(base vectors)，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使 a=zi+yj+zk， 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 例1 如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=ON，AP=AN，用向量，，表示. 例题 例2 如图1.2-3，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=5，∠DAB=60°，∠BAA1=60°，∠DAA1=60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点.求证MN⊥AC1. 例题 例3 如图1.2-4，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'，A'D'，D'D的中点. (1)求证:EF//AC; (2)求CE与AG所成角的余弦值. 例题 1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AC与BD 的交点若D1A1=2，D1C1=2，D1D=3，求B1M的长. 课堂练习 2.如图平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，CD=CC1，求证:CA1⊥平面C1BD. 课堂练习 3.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG=CD. (1)求证:EF⊥B1C; (2)求EF与C1G所成角的余弦值. 课堂练习 4.已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证:这个四面体相对的棱两两垂直. 课堂练习 学生回顾思考知识点；教师补充归纳总结 课堂小结 课时作业1.2 布置作业 谢谢！ $$