第一章 空间向量与立体几何（压轴题专练，精选20题）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何（压轴题专练） 一、单选题 1．在长方体中，，，点P在底面ABCD的边界及其内部运动，且满足，则下列结论不正确的是（    ） A．若点M满足，则 B．点P到平面的距离范围为 C．若点M满足，则不存在点P使得 D．当BP＝3时，四面体的外接球体积为 2．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，则所有满足条件的动点P形成的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点）． ①三棱锥中，点P到面的距离为定值 ②过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 ③ 直线与面所成角的正弦值的范围为 ④当点P为中点时，三棱锥的外接球表面积为 以上命题为真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，图1所示的礼品包装盒就是其中之一．该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方形，所有的侧面是全等的等腰三角形．将长方体的上底面绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体．已知，，，过直线作平面，则十面体外接球被平面所截的截面圆面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，在棱上，，平行于的直线在正方形内，点到直线的距离记为，记二面角为为，已知初始状态下，，则（    ） A．当增大时，先增大后减小 B．当增大时，先减小后增大 C．当增大时，先增大后减小 D．当增大时，先减小后增大 6．在棱长为3的正方体中，为棱的中点，为线段上的点，且，若点分别是线段，上的动点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在圆锥中，，是上的动点，是的直径，，是的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 8．如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（    ）    A．与所成角为 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．平面 D．若，则三棱锥的体积最大值是 9．如图，圆柱的底面半径和母线长均为是底面直径，点在圆上且，点在母线，点是上底面的一个动点，则（    ） A．存在唯一的点，使得 B．若，则点的轨迹长为4 C．若，则四面体的外接球的表面积为 D．若，则点的轨迹长为 10．已知正方体的棱长为2，点P在正方形ABCD内运动（含边界），则（    ） A．存在点P，使得 B．若，则的最小值为 C．若，则P点运动轨迹的长度为 D．若，直线与直线所成角的余弦值的最大值为 11．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（    ） A．当平面时，与所成夹角可能为 B．当时，的最小值为 C．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 D．当时，正方体经过点､P､C的截面面积的取值范围为 12．如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（    ） A．若平面，则 B．存在点与直线，使 C．存在点与直线，使平面 D． 三、填空题 13．斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱的高为 ． 14．在空间直角坐标系O-xyz中，四面体ABCD各顶点坐标分别为，，，.则该四面体外接球的表面积是 . 15．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法中，正确的有 （请填入所有正确说法的序号） ①当时，的周长为定值 ②当时，三棱锥的体积为定值 ③当时，有且仅有一个点P，使得 ④当时，有且仅有一个点P，使得平面 16．正方体的棱长为，平面，平面，则正方体在平面内的正投影面积为 ． 四、解答题 17．我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线.      (1)证明：三棱锥为正四面体； (2)若点M，N分别在，上，且为与的公垂线. ①求的值； ②记四面体的内切球半径为r，证明：. 18．如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)求四棱锥的体积的最大值； (2)若棱的中点为，求的长； (3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 19．如图，在三棱锥中，，，记二面角的平面角为． (1)若，，求三棱锥的体积； (2)若M为BC的中点，求直线AD与EM所成角的取值范围． 20．如图1，在△中，，分别为，的中点，为