21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（人教版）

21.2 解一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 优翼数学教学课件（RJ）九上 韦达，1540 年出生于法国的波亚图，他把符号 系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，人们为 了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.     历史上流传着一个有关韦达的趣事: 有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战. 国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外 22 个正数解(他舍弃了另外 22 个负数解). 消息传开，数学界为之震惊. 同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来. 他发现了方程根与系数的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”). 情景引入 导入新课 复习引入 (1) x2 + 3x - 4 = 0；(2) x2 - 5x + 6 = 0；(3) 2x2 + 3x + 1 = 0. 一元二次方程 两 根 x1 x2 x2 + 3x - 4 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 2x2 + 3x + 1 = 0 -4 1 2 3 -1 -3 -4 5 6 将二次项系数化为 1 想一想 方程的两根 x1 和 x2 与系数 a，b，c 有什么关系？ 算一算 解下列方程并完成填空： x1 + x2 = ？ x1·x2 = ？ （1）一元二次方程 (x - x1)(x - x2) = 0 (x1，x2 为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？ 探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜 重要发现 方程 x2 + px + q = 0 的两根 x1，x2 满足上面两个关系式 (x - x1)(x - x2) = 0 x2 - (x1 + x2) x + x1·x2 = 0 x2 + px + q = 0 x1 + x2 = -p， x1·x2 = q 新课讲授 猜一猜 （2）通过前面的表格猜想，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别是 x1，x2，那么，你可以发现什么结论？ 证一证： 注：b2 - 4ac≥0 ↗ 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b2 - 4ac≥0. 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系的应用 例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 – 6x – 15 = 0； 解： a = 1，b = – 6， c = – 15. Δ = b2 - 4ac = ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15. （2）3x2 + 7x - 9 = 0； x1 + x2 = − ， x1 x2 = 解：a = 3，b = 7，c = -9. Δ = b2 − 4ac = 72 – 4×3×( − 9 ) = 157 > 0， ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 （3） 5x – 1 = 4x2. 解：方程可化为 4x2 – 5x + 1 = 0. a = 4，b = – 5，c = 1. Δ = b2 − 4ac = ( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0. ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ，x1 x2 = . 在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判断是否 Δ≥0，如是则代入 a、b、c 的值即可. 归纳 例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 所以 x1·x2 = 2x2 = ， 即 x2