21.2.1 第1课时 直接开平方法（讲解课件PPT）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（人教版）

21.2 解一元二次方程 第二十一章 一元二次方程 第1课时 直接开平方法 21.2.1 配方法 优翼数学教学课件（RJ）九上 情景引入 古代行军打仗，常常需要先探知敌方驻扎情况. 某日，侦察兵汇报：“敌方驻扎在 30 里之外，营地形似正方形，约 16 方里.”将军立马说：“原来敌方营地长 4 里.” 思考：将军是怎么知道敌方营地长的？ 导入新课 1. 如果 x2 = a，那么 x 叫做 a 的 . 复习引入 平方根 2. 如果 x2 = a (a≥0)，那么 x = . 3. 如果 x2 = 64，那么 x = . ±8 4. 任何数都可以作为被开方数吗？ 负数不可以作为被开方数. 导入新课 直接开平方法 问题：一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程 10×6x2 = 1500， 即 x2 = 25． 根据平方根的意义得 x = ±5， 即 x1 = 5，x2 = －5． ∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm． 新课讲授 试一试： 解下列方程，并与同伴交流，说明你所用的方法. (1) x2 = 4； (2) x2 = 0； (3) x2 + 1 = 0. 解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = -2. 解：移项，得 x2 = -1． ∵ 负数没有平方根， ∴ 原方程无实数解. 解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0. (2) 当 p = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0； (3) 当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根. 探究归纳 一般的，对于可化为 x2 = p (I) 的方程， (1) 当 p > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ； 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程： (1) x2 = 6； (2) x2 - 900 = 0. 解： 直接开平方，得 解：移项，得 x2 = 900. 直接开平方，得 x = ± 30. ∴ x1 = 30，x2 = -30. 典例精析 方法点拨：通过移项把方程化为 x2 = p 的形式，然后直接开平方即可得解． 探究交流 在解方程 x2 = 25 时，由直接开平方法得 x = ±5. 由此想到，由 (x + 3)2 = 5， ① 得 对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5 ? 于是，方程 (x + 3)2 = 5 的两个根为 直接开平方法解形如 (x + n)2 = p (p≥0) 的方程 上面的解法中，由方程①得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了. 解题归纳 例2 解下列方程： （1）(x＋1)2 = 2； 解析：只要将 (x＋1) 看成一个整体，就可以运用直接开平方法求解. 即 x1 = −1+ ，x2 = − 1 − 解：∵ x + 1 是 2 的平方根， ∴ x + 1 = 典例精析 解析：先将－4 移到方程的右边，再同第 (1) 小题一样地解. （2）(x − 1)2 − 4 = 0； 即 x1 = 3，x2 = −1. 解：移项，得 (x − 1)2 = 4. ∵ x − 1 是 4 的平方根， ∴ x − 1 = ±2， ∴ x1 = ， x2 = （3）12(3 − 2x)2 − 3 = 0. 解析：先将 −3 移到方程的右边，再将等式两边同时除以 12，再同第 (1) 小题一样地去解. 解：移项，得 12(3 − 2x)2 = 3， 两边都除以 12，得 (3 − 2x)2 = 0.25. ∵ 3 − 2x 是 0.25 的平方根， ∴ 3 − 2x = ±0.5， 即 3 − 2x = 0.5，或 3 − 2x = −0.5. 解： ∴ 方程的两个根为 解： ∴ 方程的两根个为 例3 解下列方程： 1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有 x2 = p 或 (x＋n)2 = p (p≥0) 的形式，那么就可以用直接开平方法求解. 2. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明. 探讨交