重要几何模型12-4 三垂直模型-【高分突破系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第十二章 重要几何模型4 三垂直模型 1 三垂直模型的基本图象 ① 由，推出; ② 由，推出 ③ 由，推出. 2 拓展模型 若三点在一条直线上，，则 【题型1】 基本模型 【典题1】 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若BD＝4cm，CE＝3cm，求DE的长． 【典题2】如图，在中，，点分别在上，且，． (1)试说明：； (2)当时，求的度数； (3)请你猜想：当为多少度时，，并请说明理由． 【巩固练习】 1.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为(　　) A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm 2.如图，在△ABC中AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于 　 　． 3.已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E． 学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明． 4.如图，在△ABC中，AB＝BC． (1)如图①所示，直线NM过点B，AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，且∠ABC＝90°．求证：MN＝AM+CN． (2)如图②所示，直线MN过点B，AM交MN于点M，CN交MN于点N，且∠AMB＝∠ABC＝∠BNC，则MN＝AM+CN是否成立？请说明理由． 【题型2】 模型变式综合练习 【典题1】 (1)尝试探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AF是过点A的一条直线，且B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则图中与线段AD相等的线段是 　　；DE与BD、CE的数量关系为 　 　． (2)类比延伸：如图②，∠ABC＝90°，BA＝BC，点A，B的坐标分别是(﹣2，0)，(0，3)，求点C的坐标． (3)拓展迁移：在(2)的条件下，在坐标平面内找一点P(不与点C重合)，使△PAB与△ABC全等．直接写出点P的坐标． 【巩固练习】 1.问题背景：(1)如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，请直接写出BD、CE、DE的数量关系． 拓展延伸：(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系，并说明理由． 实际应用：(3)如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(﹣2，0)，点A的坐标为(﹣6，3)，求B点的坐标． 2.如图，线段AB＝6，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边做正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使得∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合)． (1)求证：△AEP≌△CEP； (2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由； (3)△AEF的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 1.如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于(　　) A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm 2.如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处(∠O＝90°)，若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是 　 　cm． 3.一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间，且点D，C，E在同一直线上，已知稍高的柜高AD为80cm，两柜距离DE为140cm．求稍矮的柜高BE． 4.如图，在中，,为边上的一点，以为顶点作，的一边交于点，使，请猜想与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 5.探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE． 应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC． 求出DE、BD和CE的关系． 拓展：如图①中，若DE＝10．梯形BCED的面积 　 　． 6.观察猜想： (1)如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为