22.2 二次函数与一元二次方程（word教案）-【优翼·学练优】2023-2024学年九年级上册初三数学同步备课（人教版）

第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 学习目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系. 2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根. 重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集. 难点：通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系. 自主学习 一、知识链接 1.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程(a≠0)根的情况. 2. 写出二次函数的图象的顶点坐标、对称轴，并画出它的图象.然后观察图象，x为何值时，y=0？ 课堂探究 二、要点探究 探究点1：二次函数与一元二次方程的关系 问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系： h=20t－5t2， 考虑以下问题： (1) 小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ (2) 小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ (3) 小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ (4) 小球从飞出到落地要用多少时间？ 从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0)何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程. 典例精析 例1 如图，小丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x (单位：m)是铅球离初始位置的水平距离，y (单位：m)是铅球离地面的高度. (1) 当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？ (2) 铅球离地面的高度能否达到2.5m？如果能，它离初始位置的水平距离是多少？ (3) 铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？ 二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了. y = ax2 + bx + c(a≠0) y = M ax2 + bx + c= M 探究点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程 思考 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1) y=x2+x－2； (2) y=x2－6x+9； (3)y=x2－x+1. 要点归纳：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2－4ac 有两个公共点 有两个不相等的实数根 b2－4ac＞0 有一个公共点 有两个相等的实数根 b2－4ac=0 没有公共点 没有实数根 b2－4ac＜0 例2 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个公共点； (2)若此抛物线与x轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 【变式题】已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． 探究点3：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 例3 利用函数图象求方程x2+2x-1=0的实数根(结果保留小数点后一位). 分析：一元二次方程 x²－2x－2=0 的根就是抛物线 y=x²－2x－2 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法. 方法归纳: 一元二次方程的图象解法 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根. (1)用描点法作二次函数的图象； (2)观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标； 由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标即为方程的根，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似值)； (3)确定方程的近似解. 由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解. 例4 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 的近似根为(　　) A． x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性