专题4.1 指数【六大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第一册）

专题4.1 指数【六大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 根式与分数指数幂的互化】 2 【题型2 指数式的化简】 3 【题型3 根据指数式求参】 3 【题型4 指数式的给条件求值问题】 4 【题型5 指数幂等式及幂的方程问题】 4 【题型6 指数幂等式的证明】 4 【知识点1 根式与分数指数幂】 1．根式 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N* 性质 (1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号表示； (2)当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，这两个数互为相反数，记为； (3)负数没有偶次方根； (4)0的任何次方根都是0，记作 (2)根式的定义与性质 定义 式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 性质 ， 2．分数指数幂 整数指数幂 指数 幂中 的指 数从 整数 拓展 到了 有理 数 分数指数幂 正整数指数幂： 正数的正分数指数幂： 负整数指数幂： 正数的负分数指数幂： 规定：0的0次方没有意义；非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义 注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已. 【题型1 根式与分数指数幂的互化】 【例1】（2023·全国·高三专题练习）下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·全国·高一假期作业）下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【知识点2 指数幂的运算】 1．有理数指数幂的运算 (1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). (2)指数幂的几个常用结论： ①当a>0时，>0； ②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义； ③若(a>0,且a≠1)，则r=s； ④乘法公式仍适用于分数指数幂. 2．无理数指数幂及实数指数幂 (1)无理数指数幂 一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x 的取值范围从整数逐步拓展到了实数. (2)实数指数幂的运算性质： 整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 整数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 实数指数幂 的运算性质 底数、指数 的取值范围 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 m,n∈Z,a∈R r,s∈R,且a>0 n∈Z,a∈R,b∈R r∈R,且a>0,b>0 【题型2 指数式的化简】 【例2】（2023·全国·高一假期作业）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023秋·高一课时练习）化简 (a>0，b>0)的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023春·江西·高一校考期末）计算，结果是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高三专题练习）（    ） A． B． C． D． 【题型3 根据指数式求参】 【例3】（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022秋·高一单元测试）若正数，满足，，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【变式3-2】（2022秋·高一单元测试）若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2022·全国·高一专题练习）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 指数式的给条件求值问题】 【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知，则的值是（    ） A．15 B．12 C．16 D．25 【变式4-1】（2023·江苏·高一假期作业）若，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式4-2】（2022秋·四川成都·高一校考期中）已知，则（    ） A．7 B．9