3.2.2双曲线的简单几何性质（第2课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的运用 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 掌握双曲线的定义、标准方程及其几何性质。 2. 运用解析法（坐标法）研究双曲线的标准方程和几何性质，并能利用其解决相关问题。 3. 核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 双曲线的概念及其标准方程 定义：一般地，我们把平面内与两个定点, 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于||）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间距离叫做双曲线的焦距. 双曲线的标准方程：①焦点在： 1 (0). ②焦点在： 1 (0). 双曲线的简单几何性质 标准方程 1 1 性 质 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 1 1 二、新课讲授 例1 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图）.它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）. 追问1 双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面是我们学过的哪种曲面？ 分析：旋转面 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线就做旋转体的轴. 追问2 “此双曲线”与“双曲线型冷却塔的外形”之间是什么关系？ “双曲线型冷却塔的外形”与经过它的轴平面的交线，就是“此双曲线”的一部分. 追问3 “最小半径”与该双曲线有什么联系？ “最小半径”等于该双曲线实轴长的一半. 解：建立如图所示的平面直角坐标系，使最小圆的直径在轴上，圆心与原点重合.这时，上、下口的直径， 都平行于轴，且13×2， 25×2. 设双曲线的方程为： 1 (0)，点的坐标为(13, )，则点的坐标为(25, -55). 因为直径是实轴，所以=12. 又因为点和点都在双曲线上，所以 由方程②，得=（负值舍去）， 代入方程①，消去，并化简得 ， 解得25 （负值舍去）. 因此所求双曲线的方程为 1. 例2 动点与定点的距离和它到直线： 的距离的比是上常数，求点的轨迹. 解：设是点到直线： 的距离，根据题意，动点的轨迹就是集合 由两点间距离公式和点到直线距离公式，可得 = ， 将上式两边平方，并化简，得 63，即1. 所以点的轨迹是实轴长为6，虚轴长为的双曲线. 回顾 动点与定点的距离和它到直线： 的距离的比是上常数，求点的轨迹. 点的轨迹方程为： 1 动点与定点的距离和它到直线： 的距离的比是上常数，求点的轨迹. 点的轨迹方程为： 1 追问1 题中的“常数”与最后求得的曲线有什么关系？ 刚好是曲线的离心率 小结： 1、平面内到定点的距离与到定直线(直线不经过点)的距离的比是常数（ ）的点的轨迹是椭圆. 2、平面内到定点的距离与到定直线(直线不经过点)的距离的比是常数（ ）的点的轨迹是双曲线. 例3 如图，过双曲线1的右焦点，倾斜角为30°的直线交双曲线于 两点，求. 解：由双曲线的标准方程可知，双曲线的交点分别为(-3,0), (3,0). 因为直线的倾斜角为30°，且经过右焦点，所以直线的方程为 ① 12 消去，得 ， 解得=-3, = . 将， 代入①，得=- 2, =-. 于是点的坐标分别为(-3,- 2)， (, -). 所以 == 三、课堂小结 1、解决实际问题的一般方法 四、作业布置 课本P127：练习 第3题 2、加强训练运算能力，学会优化求解过程 $$