专题1.2 集合间的基本关系（讲+练，8大考点）-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第一册）

专题1.2 集合间的基本关系 知识点一 子集、真子集 1.子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A. 2.真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则AB或BA． 3.概念解读：(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B． (2)不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B． (3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A． (4)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.任何集合都不是它本身的真子集． (5)若A⊆B，且A≠B，则AB． 知识点二 空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2.规定：空集是任何集合的子集． 3.辨析： 知识点三 集合间关系的性质 对于集合A，B，C， ①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C； ②若AB，BC，则AC． 知识点四 子集、真子集个数 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 考点01 判断集合的子集（真子集）关系 【典例1】（2012·全国·高考真题）已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ） A． B． C． D． 【典例2】（2023秋·高一课时练习）设，，，则集合的关系是 ． 【总结提升】 判断集合关系的方法有三种： (1)一一列举观察． (2)集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若p(x)推出q(x)，则A⊆B；②若q(x)推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)互相推出，则A＝B；④若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． (3)数形结合法：利用数轴或图示． 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法．注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示． 考点02 求集合的子集（真子集） 【典例3】（2023秋·高一课前预习）已知集合，则集合的子集有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 【典例4】写出集合A＝{a，b，c}的所有子集和真子集. 【规律方法】 求有限集合的子集问题，关键有三点： (1)确定所求集合； (2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出； (3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 考点03 确定子集、真子集的个数 【典例5】（2022秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合，集合且，则集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【典例6】（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【总结提升】 1．明确集合中元素个数． 2．依据若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个 考点04 根据集合的包含关系求参数 【典例7】（2023春·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知集合，，，则实数m的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【典例8】（2023春·江苏苏州·高二校考期中）已知集合，，若，则实数m可能的取值为 . 【典例9】（2023·全国·高一假期作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【总结提升】 1.弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 2.看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形； 3.将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围． 考点05 判断集合之间的关系 【典例10】（2023·全国·高一假期作业）已知集合，则（　　） A． B． C． D． 【典例11】 已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则集合A与B的关系正确的是(　　　) A．A⊆B　　　　　　　　 B．AB　　　　　　　　 C．B⊆A　　　　　　　　 D．A∈B 【总结提升】 判断集合之间的关系不能仅凭表面的理解，应当注意观察集合中的元素之间的关系．集合之间一般为包含或相等、不等关系，但有时也可能为属于关系．解题时要思考两个问题：(1)两个集合中的元素分别是什么；(2)两集合中元素之间的关系是什么． 考点06 根据集合的相等求参数 【典例12】（2023春·湖南长沙·高二湘府中学校考期末）已知实数集合若，则（　　） A． B．0 C．1 D．2 【典例13】（2023春·云南