专题22 正弦定理、余弦定理-2024年新高考数学高频考点+重点题型讲练测

学科网（北京）股份有限公司 专题22正弦定理、余弦定理 1、 核心体系 二、关键能力 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 三、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲是高考的必考内容．预计2022年会以对正、余弦定理的考查为主，利用两定理解三角形(求三角形边或角)，解与三角形面积有关的最值问题．此外，判断三角形的形状及三角形内三角函数的计算也不容忽视．题型既可以是客观题也可以是解答题，属中档题型. 四、自主梳理 1． 正弦定理 ＝＝＝2R(其中R为△ABC外接圆的半径)． 常用变形： ① a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； ② sin A＝，sin B＝，sin C＝； ③ a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； ④ asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A． 2． 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC cosA＝，cosB＝，cosC＝． 3． 三角形中的常见结论 (1) A＋B＋C＝π． (2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>Ba>bsinA>sinB． (3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4) △ABC的面积公式 ① S＝a·h(h表示a边上的高)； ② S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝； ③ S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)； ④ S＝，其中P＝(a＋b＋c)． 五、高频考点+重点题型 考点一、三角形中求边、求角、求周长、求面积 例1-1(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________. (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则A＝ (3)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝ (4)（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若，则B= 例1-2（1）已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于(　　) A．2　　　　　B．1 C. D. （2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝3，b＝2，cos(A＋C)＝－，则c＝(　　) A. B．5 C. D. 例1-3在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　) A. B． C. D． 对点训练 1．（2023·北京·统考高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 2.(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac＝，②csin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？ 3.(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°. (1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；(2)若sin A＋sin C＝，求C. 4．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 5．（2022·全国·统考高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 考点二、求角、边、面积、周长的范围或最值 例2-1.在△ABC中，A，B，C的对应边分别为a，b，c，满足1－≤，则角C的取值范围是(　　) A. B. C. D. 例2-2.（2021·四川省成都外国语学校）在锐角中， ，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例2-3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin B＝bcos A.若a＝4，则△ABC周长的最大值为________. 例2-4．（2021·四川省）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，当面积最大时，此时的为（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能对形状进行判断 例2-5．（2021·全国高三（文））在锐角中，若，则的范围（ ） A． B． C． D． 训练题组 1．（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求的最小值． 考点三、