16.1 二次根式（讲+练，七大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

16.1 二次根式 1. 理解二次根式的概念，理解使二次根式有意义的条件;会根据二次根式有意义的条件求被开方数中字母的取值范围. 2. 理解二次根式的基本性质，知道等式成立的条件;会利用二次根式的性质化简简单的二次根式. 3. 理解与的关系，能运用等式＝解决有关问题. 知识点一 二次根式的概念 1. 二次根式的概念 代数式叫做二次根式，读作“根号a”，其中a是被开方数.例如，，都是二次根式. [注意]例如可写成，但不能写成. 通常把形如的式子也叫做二次根式，如，，，也是二次根式. 注意：表示与是相乘的关系，当是分数时，只能是真分数或假分数，不能写成带分数或小数的形式. 2.二次根式的特征 （1）必须含有平方根“”，“”的根指数是2；[根指数2一般省略不写] （2）被开方数一定是非负数，如和都不是二次根式. 问题：如何证明不是二次根式？ 解：∵，∴，∴∴无意义即不是二次根式. 即学即练 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，， ，，，，，（）． 知识点二 二次根式有无意义的条件 分类 条件 符号语言 有意义 被开方数是非负数 无意义 被开方数是负数 本知识点一般用于求被开方数中的字母的取值范围较多。 二次根式有意义的条件： (1) 要使二次根式有意义,必须使被开方数为非负数,据此建立不等式(组)求解,不要错误地认为二次根式中所含字母为非负数; (2) 若式子中含有多个二次根式，则字母的取值必须使各个被开方数同时为非负数; (3) 若式子中含有分母，则字母的取值必须使分母不为零. 即学即练 设是实数，当满足什么条件时，下列各式有意义？ (1)； (2)； (3)． 知识点三 二次根式的性质 1. 二次根式的双重非负性 具有双重非负性： （1） 被开方数是非负数 （2） 本身也是非负数 初中阶段非负性的三种表达式： （1） 偶次方非负，常以二次方居多： （2） 绝对值非负： （3） 算术平方根非负： 即学即练 已知+=0，则为（　　） A．1 B．﹣1 C．2023 D．﹣2023 若几个非负式的和为0，则这几个非负式都为0，常见形式如下： （1）若则； （2）若则； （3）若则； （4） 问题：为什么说只能是都为0？ 因为非负数要么是0要么是正数，组合情况有3种：（1）0+正≠0（2）正+正≠0（3）0+0=0，综上所述，只有同时为0时，结果才能为0. 2.二次根式的性质1： （1） 一个非负数的平方的算术平方根等于它本身； （2） 对于实数，一般来说，由，得，其中.利用二次根式的性质1，可知，所以. 注意：性质表示一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.的值不一定等于. 3.二次根式的性质2： 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.反之，一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式,即. （1）与的区别与联系： 类别 区别 表示的意义 表示非负数的算术平方根的平方 表示数的平方的算术平方根 运算顺序 先开方，后平方 先平方，后开方 的取值 为任意实数 化简结果 ＝ 联系 （1）结果都是非负数 （2）当时，＝ （2）不同类型的二次根式化简 类型 方法 先利用积的平方等于平方的积，即化为的形式，再化简. 先利用化为的形式后再化简. 4.二次根式的性质3： （1）和可以是数，也可以是代数式，但必须满足，实际上，是限制性质3右边的，对于性质3的左边，只需要即可. （2）若一个二次根式的被开方数中有的因式是完全平方式，则可以利用 及将这些因式“开方”出来，从而将二次根式化简. 5.二次根式的性质4： 性质4中的和必须满足.是限制性质4右边的，对于性质4的左边，只要且即可.例如计算，不能写成，而应该写成. 性质3和4两个等式中，左边是以两个数的积（或商）为被开方数的二次根式，右边是分别以这两个数为被开方数的两个二次根式的积（或商），在二次根式的运算或变换中，可以据此从左到右或从右到左进行转化. 即学即练 （2023春·山东临沂·八年级校考阶段练习）若是整数，则正整数的最小值是（    ） A． B． C． D． 知识点四 化简二次根式 1. 化简二次根式： 把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. 2. 方法： 方法 举例 被开方数含有完全平方因式，可用它的非负平方根代替后移到根号外面 化去被开方数的分母 若被开方数含有带分数，应先将带分数化成假分数 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 若被开方数是分式，应先将分母化