专题02 空间向量基本定理及其坐标表示压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 空间向量基本定理及坐标表示 压轴题（学生版） 1.空间向量的基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得：p＝xa＋yb＋zc我们把 叫作空间的一个基底， 都叫作基向量。 注：①空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底； ②由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是； 2.空间向量的坐标表示 (1).单位正交基底 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用表示。 (2).空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面。 (3).空间直角坐标系中的坐标 给定一个空间直角坐标系和向量，在单位正交基地下，由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组,使。有序实数组叫作在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，即= 。 3.空间向量运算的坐标表示 (1).空间向量加减法、数乘运算 若，，则：①； ②；③。 (2).空间向量数量积坐标运算 若，，则。 (3).空间向量平行和垂直条件 若，，则 ①，， ② (4).空间向量模与夹角公式坐标表示 若，，则 ①，． ②． 题型一 空间向量基底概念及其辨析 例1.（1）若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， (2).在以下命题中： ①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面； ②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线； ③对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 ④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底 ⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 练习题 (1).若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． (2).(多选题）已知O，A，B，C为空间的四个点，则（    ） A．若构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若与共线，则存在一个向量与构成空间的一个基底 D．若，则是M，A，B，C四点共面的充要条件 题型二 用空间基底表示向量 例2.(1)在三棱锥中，G是的重心，M是线段的中点，若，则（    ） A． B． C． D．1 (2).如图，是的重心，，则（    ） A． B． C． D． (3).如图，三棱锥中，M，N分别是，的中点，G为线段上一点，且，记，，，则（    ） A． B． C． D． (4).（多选题）在三棱锥中，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若G为的重心，则 C．若，，则 D．若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则 练习题 (1).设是四面体，是的重心，G是上的一点，且，若，则 . (2).已知矩形为平面外一点，平面，点满足，．若，则（    ） A． B．1 C． D． (3).在正四面体中，，，，为中点，为靠近的三等分点，用向量，，表示（    ） A． B． C． D． (4).已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． (5).在平行六面体中，是线段上一点，且，若，则（    ） A． B．1 C． D． 题型三 空间向量基本定理及其应用 例3(1).已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． (2).在平行六面体中，，，且，，则（    ） A． B． C． D． (3).（多选题）如图，在平行六面体中，与交于点，且，，.则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． (4).（多选题）在平行六面体中，已知，则下列说法错误的是（    ） A．为中点，为中点，则与为异面直线 B．线段的长度为 C．为中点，则平面 D．直线与平面所成角的正弦值为 (5).在四棱柱中，，，，.    (1)当时，试用表示； (2)证明：四点共面； (3)判断直线能否是平面和平面的交线，并说明理由. (6).正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求： （1）AF与CE所成角的余弦值； （2）CE