1.3正方形的性质与判定　解答题专题训练　2023—2024学年北师大版数学九年级上册

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》 解答题专题训练（附答案） 1．已知，为矩形的对角线，完成如下操作，并解决问题：    (1)作的垂直平分线；（不写画法，保留作图痕迹） (2)在直线上确定两点，，使四边形为正方形，简要阐述作法，并说明理由． 2．如图，在边长为的正方形中，点为对角线上任意一点（可与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)当时，求的长． 3．正方形中，对角线、交于点，为延长线上一点，连接并延长到点，使，连接、．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 4．如图，正方形中，E是边上一点，连接，过点B作于点G，交于点F．    (1)求证：； (2)若正方形的边长，点E是的中点，求的长． 5．如图，四边形是正方形，E、F分别是边和延长线上的点，且，连接．    (1)求证：． (2)可以由绕旋转中心点______，按顺时针方向旋转_____度得到． (3)若，求四边形的面积． 6．如图，正方形的边长为，为对角线，平分，．      (1)求证：； (2)求的长． 7．如图，两个正方形与，连接，二者相交于点H． (1)请说明的位置和数量关系，并给予证明； (2)连接和，请问的面积和的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 8．如图，正方形中，，点，是对角线上的两点，且．    (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并加以证明； (3)设的延长线交边于点，若点恰为边的中点，求四边形的周长与面积． 9．问题引入：如图①，，，，E是线段的中点．连接并延长交于点F，连接．则与之间的数量关系是 ． 问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连接、． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由． （2）连接，若，，则的长为 ． 10．【探究】如图1，正方形和正方形有公共顶点C．连接求证：． 【变式】如图2，菱形和菱形有公共顶点C，且、连接 （1）是否仍存在结论？若存在，给出证明，若不存在，请说明理由； （2）如图3，当点G恰好落在对角线上时，点F在延长线上，且，若的面积为9，直接写出菱形的面积． 11．如图，在平面直角坐标系，四边形是正方形，，点是延长线上的一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点．    (1)直接写出点的坐标； (2)求证：； (3)如图2，若，在上找一点，使四边形是平行四边形，求点的坐标． 12．在正方形中，点为边上一点不与点、重合，于点，于点．    (1)如图，求证：； (2)如图，若为中点，连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； (3)若，，直接写出线段的长是______ ． 13．如图①，正方形中，为上一点，交于点，、分别是和的中点，延长交于点，交于点，交于点．      (1)求证：； (2)求证：； (3)如图②，当时，求的值． 14．１．【操作发现】如图，为等边三角形，点为边上的一点，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、．请直接写出下列结果： 的度数为______； 与之间的数量关系为______． 【类比探究】如图，在正方形中，的两边分别与线段，相交于，点不与，重合，点不与，重合，且． 试判断线段，，之间的数量关系并说明理由； 如图，若，是，上的定点，点是的中点，连接，作点关于直线的对称点，作点关于直线的对称点，连接，当，时，在线段，上是否分别存在，，使四边形的周长有最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 15．如图1，在正方形中，，点在边上，连接，且，点是的中点．    (1)求的长； (2)过点作直线，分别交，于点，，且，求的长； (3)如图2，过点作的垂线，分别交，，于点，，，连接，求的度数． 16．如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，，以为边在y轴的右侧作正方形．    (1)求点A，B的坐标； (2)如图，点D是x轴上一动点，点E在的右侧，，． ①如图1，问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点D是线段的中点，另一动点H在直线上，且，请直接写出点H的坐标． 17．【探索发现】（1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，我们知道，无论正方形绕点O怎么转动，总有，连接，求证：． 【类比迁移】（2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由； 【迁移拓展】（3）如图3，在中，，，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，直接写出线段的长度．    18．【操作发现】（1