1.2矩形的性质与判定　解答题专题训练　2023-2024学年北师大版九年级数学上册

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》 解答题专题训练（附答案） 1．如图，菱形的对角线交于点，点是菱形外一点，．试判定四边形的形状，并给出证明．    2．在中，，，，点D是的边上的中点，，．    证明： (1)； (2)求的长． 3．如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 4．在平行四边形中，于点．    (1)尺规作图：在边上找一点，使得（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）； (2)求证：四边形是矩形． 5．如图，中，O是边中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的度数． 6．如图，在矩形中，是对角线．    (1)在边上确定一点E，将沿翻折后，点E的对应点F恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，求证：四边形是菱形． 7．如图，在平行四边形中，于点E，延长至F点，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 8．在矩形中，对角线、相交于 点 O，且、．    (1)求证：； (2)若，，求矩形的面积． 9．如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分交于点，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的面积． 10．如图，将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，得到矩形，连交于，连接．    (1)求证：． (2)若，求长． 11．如图，在矩形中，，，延长到点，使，连接．若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着向终点运动，连接．设点运动的时间为秒．    (1)直接写出的长； (2)求当为何值时，和全等？ (3)是否存在，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，说明理由． 12．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作，且，连接、．    (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的长． 13．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接、、．    (1)求证：； (2)求证：； (3)求证：． 14．在矩形中，，，点 Q 在线段上，点 P 在线段上，且 ，连接，过点 P 作，与边相交于点 E，与边相交于点 F，连接．    (1)求线段的长 (2)求证：； (3)试探究线段，，三者之间的等量关系， 并加以证明． 15．【定义新知】 如图1，将矩形纸片沿BE折叠，点A的对称点F落在BC边上，再将纸片沿CE折叠，点D的对称点也与F重合，折叠后的两个三角形拼合成一个三角形()，这个三角形称为叠合三角形．类似地，对多边形进行折叠，若折叠后的图形恰好可以拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，则这样的矩形称为叠合矩形． (1)图1中叠合的底边BC与高EF的长度之比为_______； (2)将纸片按图2中的方式折叠成一个叠合矩形，若AD=13，MN=5，求叠合矩形的面积； 【问题解决】 (3)已知四边形ABCD纸片是一个直角梯形，满足，，AB 点F为BC的中点，EF⊥BC，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形． ①如图3，若线段EF是其中的一条折痕，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出AB和CD的长； ②如图4，若线段EF是叠合正方形的其中一条对角线，请你在图中画出叠合正方形的示意图，并求出此时AB和CD的长． 16．已知矩形纸片中，．    (1)将矩形纸片沿着折叠，点B落在点E处，求此时的长； (2)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，求折痕的长． 17．点O为矩形的中心． (1)命题1：如图①，过点O的直线，分别交，于点E，F，则四边形是菱形． 命题2：如图②，P，Q两点在，上，且线段过点O，过点O的直线，分别交，于点E，F，则四边形是菱形． 请先判断两个命题的真假，并选择一个真命题进行证明． (2)若把图①的四边形的面积记为，图②的四边形的面积记为，则_________．（填“＞”或“＜”或“=”） 18．已知矩形的对角线、相交于点O，点E是边上一点，连接、、，且．        (1)如图1，求证：； (2)如图2，设与相交于点F，与相交于点H，过点D作的平行线交的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（除外），使写出的每个三角形的面积都与的面积相等． 19．如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，，，在边上取一点D，将纸片沿翻折，使点O落在边上的点E处． (1)求和的长； (2)求直线的表达式； (3)直线与平行，当它与矩形有公共点时，直接写出b的取值范围． 20．已知，在矩形中，，，的垂直平分线分别交，于点E，F．垂足为O．    (1)如图1，连接，，求的长 (2)如图2