第1章全等三角形（辅助线-倍长中线）专题练习2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第1章全等三角形（辅助线-倍长中线） 【知识梳理】倍长中线的定义 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 倍长中线法：就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角相等） 倍长中线最重要的一点：延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 常见模型： 【典型例题】 题型一：倍长中线的综合 【例题】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC． 【变式训练】 1.如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，且BE＝AC，求证：∠BED＝∠CAD． 2.如图，已知，点是的中点，且，求证：． 3.已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD．求证：AE＝AC． 4．如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE． 5.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线． （1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE． （2）求证：△ACD≌△EBD． （3）求证：AB+AC >2AD． （4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 6.如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，． （1）求证； （2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值． 7.【变式】阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，是边上的中点，延长至，使得，求证：． 8.（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2）， ①延长AD到M，使得DM＝AD； ②连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中； ③利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是　 ； 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． （2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明． （3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明． 【过关检测】 1、 选择题 1.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，AD是边BC上的中线，则AD长的取值范围是（　　） A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 2．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，则中线AD的取值范围是（　　） A．1＜AD＜7 B．1＜AD＜8 C．1＜AD＜6 D．2＜AD＜5 3．如图，在△ABC中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E，已知AB=10，，则CE的长为（        ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，，，，，垂足分别是点，，若，，则的长是（       ） A． B．2 C．3 D．4 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝4．将腰 CD 以 D 为旋转中心逆时针旋转 90°至 DE，连结 AE，则△ADE 的面积是（          ） A． B．2 C． D．不能确定 2、 填空题 1.△ABC中，AB＝10，AC＝8，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　． 2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是　 　． 3．在△ABC中，AB＝6，AC＝4，则BC边上的中线AD的取值范围是　 　． 4．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平