第21章二次函数与反比例函数（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（沪科版）

第21章二次函数与反比例函数（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 考点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【例1】（2022秋•颍州区校级期末）下列函数不属于二次函数的是（　　） A．y＝（x﹣1）（x+2） B．y＝（x﹣1）2 C．y＝1﹣x2 D．y＝2（x+3）2﹣2x2 【解答】解：∵y＝（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2．， ∴A选项不合题意， ∵， ∴B选项不合题意， ∵是二次函数， ∴C选项不合题意， ∵y＝2（x+3）2﹣2x2＝2x2+12x+18﹣2x2＝12x+18， ∴D选项不是二次函数， 故选：D． 【变式】（2022秋•宣州区期末）若关于x的函数y＝（a+1）x2﹣3ax﹣2+a是二次函数，则a必须满足的条件是 　． 【解答】解：根据二次函数的定义，得：a+1≠0 解得a≠﹣1． 考点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【例2】（2022秋•安徽期中）一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由，解得或， ∴一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）的交点为（1，a﹣1），（，0）， A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误，不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，由一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）可知，两图象交于点（1，a﹣1），则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 考点3：二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 【例3】（2023春•桐城市月考）如图，已经二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，直线l∥x轴，则当ax2+bx+c≥1时x的取值范围 　 　． 【解答】解：由函数图象可知抛物线对称轴为直线x＝1，直线l与抛物线交于点（2.5，1）， ∴直线l与抛物线的另一个交点坐标为（﹣0.5，1）． ∴当﹣0.5≤x≤2.5时，ax2+bx+c≥1， 故答案为：﹣0.5≤x≤2.5． 考点4：待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）