1.1 集合的概念（讲+练，五大题型）-【划重点】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.1集合的概念 知识点一 元素与集合的概念 1.元素:一般地，我们把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c,...表示. 2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母A,B,C,...表示. 不是所有对象都能构成集合,只有具有明确标准,可以判断是否在集合内的对象才能组成集合. 知识点二 元素与集合的关系 1.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，写作a∈A. 2.不属于：如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,写作a∉A. 知识点三 集合中元素的三大特性 性质 含义 例子 确定性 对于任意一个元素,要么它属于某个指定集合,要么它不属于该集合,二者必有其一 对于集合A={1,2}, 有1属于A,而3∉A 互异性 同一个集合中的元素是互不相同的,相同的元素只能出现一次 错误写法:A={1,2,1} 正确写法:A={1,2} 无序性 集合中的元素没有先后顺序,即任意改变集合中元素的排列次序,他们仍然表示同一集合 集合{1,2}和集合{2,1}是同一个集合 集合中元素的互异性在解题中应用广泛，特别是有字母出现的集合问题常成为陷阱题，一定要将求得的字母值代回原题检验集合中的每一个元素是否互异，否则该字母值不符题意应舍去. 知识点四 集合的表示方法 表示方法 含义 列举法 把集合中的元素一一列举出来,并用花括号{ }括起来的表示方法,例如10以内的质数组成的集合可以表示为{2,3,5,7} 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,例如由大于1且小于100的所有整数组成的集合可以表示为{x∈Z|1<x<100},其中“|”左边的部分代表元素，右边的部分代表元素特征所满足的条件 图示法 通常借助Venn图（韦恩图）和数轴来表示集合。若元素是离散的，用Venn图表示集合{1,2,3,4}： 1,2,3,4 若元素是连续的，用数轴表示集合{x|x≥1}：x≥1 0 1 （1）列举法通常用于元素个数较少的集合，元素间必须用“，”分隔开； （2）描述法中，不能将{x∈R|1<x<10}简写为{1<x<10}，若x∈R是明确的，则可以简写为{x|1<x<10}，注意“|”和左边的元素不能省略. 知识点五 集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 题型一 集合的概念 例1、（多选）判断下列每组对象，能组成一个集合的是（　　） A．某校高一年级成绩优秀的学生 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．2022年第24届冬季奥运会金牌获得者 例2、下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式训练1、下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．参加运动会的学生 B．小于的正整数 C．年高考数学试卷上的难题 D．所有有理数 变式训练2、考察下列每组对象，能构成集合的是（　　） ①中国各地的美丽乡村； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于的自然数； ④截止到年月日，参与“一带一路”的国家． A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 题型二 元素与集合的关系 例1、已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正确的个数为 . 例2、已知集合，，则（    ） A． B． C．或 D． 变式训练1、已知，求实数x的值 ． 变式训练2、若集合中有2个元素，求k的取值范围． 题型三 集合中元素的特性 例1、由英文单词“book”中的字母构成的集合中元素的个数为（ ） A．3 B．6 C．8 D．16 例2、已知集合，且下列三个关系式： （）；（）；（）；有且只有一个正确，则 ． 变式训练1、若集合，实数的值为 变式训练2、由构成的集合中，元素个数最多是 . 题型四 集合的表示方法 例1、（多选）集合，集合A还可以表示为（    ） A． B． C． D． 例2、用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合 ； （2）被9除余2的数组成的集合 ． 变式训练1、用适当的方法表示下列集合． (1)方程组 的解集； (2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 变式训练2、下列语句中： （1）和表示同一集