素养拓展19 等差数列中Sn的最值问题（精讲+精练）-【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 素养拓展19 等差数列中Sn的最值问题（精讲+精练） 一、知识点梳理 一、等差数列的通项公式和前n项和公式 1.等差数列的通项公式 如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是． 2.等差数列的前项和公式 设等差数列的公差为，其前项和． 注：数列是等差数列⇔（为常数）． 二、等差数列的前n项和的最值 1.公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 2.在等差数列中 （1）若，则满足的项数使得取得最大值； （2）若，则满足的项数使得取得最小值． 即若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 二、题型精讲精练 【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证； （2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【详解】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式； 法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解． 【题型训练-刷模拟】 一、单选题 1．（2023·四川泸州·统考三模）记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2023·全国·高三专题练习）已知无穷等差数列的前n项和为，公差为，若 ，则不正确的（    ） A．数列单调递减 B．数列没有最小值 C．数列{}单调递减 D．数列{}有最大值 4．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知为等差数列的前项和．若，，则当取最大值时，的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（2023·全国·高三专题练习）设数列为等差数列，是其前n项和，且，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．与均为的最大值 7．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 9．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（    ）①为的最小值  ②  ③，  ④为的最小值 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2023·全国·高三专题练习）数列是递增的整数数列，若，，则的最大值为（    ） A．25 B．22 C．24 D．23 11．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 12．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，前n项和为，若，，则在，，…，中最大的是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·全国·高三专题练习）已知各项为正的等比数列的公比为q，前n项的积为，且，若，数列的前n项的和为，则当取得最大值时，n等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 14．（2023·全国·高三专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（    ） A．若有最大值，则数列的公差小于0 B．若，则使的最大的n为18 C．若，，则中最大 D．若，，则数列中的最小项是第9项 15．（2023·全国·高三专题练习）对于数列，定义为的“优值”．现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 16．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，且.若存在实数，，使得，且，当时，取得