重要几何模型12-3 角平分线四大模型-【高分突破系列】2023-2024学年八年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

第十二章 重要几何模型3 角平分线四大模型 【题型1】 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,则PB=PA. 模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 【典题1】 (1)如图①在△ABC，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6cm，BD＝4cm，那么点D到AB的距离是　 　cm (2)如图②，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC． 【巩固练习】 1.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝　 ． 2.已知，如图，∠C＝∠D＝90°，E是CD的中点，BE平分∠ABC．求证：AE平分∠DAB． 【题型2】截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB， 则△OPB△OPA. 模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 【典题1】 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由． 【巩固练习】 1.已知在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝2∠B，AD＝3，AC＝5，则BC＝　 　． 2.已知，如图AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC＝AB+CD． 3.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且BC＝CD，求证：∠B+∠D＝180°． 4.如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， (1)求∠AOC的度数；(2)求证：AE+CD＝AC；(3)求证：OE＝OD． 【题型3】角平分线+垂线构造等腰三角形 如图， P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP交ON于点B,则△AOB是等腰三角形。 模型分析：构造次模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型敲门地把角平分线和三线合一联系在一起。 【典题1】如图所示，已知等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD＝2CE． 【巩固练习】 1.如图．在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C． 2 如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，求证：BE(AC﹣AB)．(提示：延长BE交AC于点F)． 3.已知：如图，∠BAD＝∠CAD，AB＞AC，CD⊥AD于点D，H是BC中点．求证：DH(AB﹣AC)． 【题型4】 角平分线+平行线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA//ON,交OM于点Q.则△POQ是等腰三角形. 模型分析：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 【典题1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，AE平分∠BAD，AE⊥BE． (1)求证：BE平分∠ABC； (2)求证：AD+BC＝AB； (3)若S△ABE＝4，求梯形ABCD的面积． 【巩固练习】 1.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为　 ． 2.四边形ABCD中，AD∥BC，CE平分∠BCD交AB于点E，ED⊥CD于点D，已知∠B＝40°，∠BCD＝70°． (1)求∠CED的度数； (2)求证：AD＝AE． 3.如图1，点A是直线MN上一点，点B是直线PQ上一点，MN∥PQ，∠NAB和∠ABQ的平分线交于点C． (1)求证：BC⊥AC； (2)过点C作直线交MN于D(不与A重合)，交PQ于E， ①若点D在点A的右侧，如图2，求证：AD+BE＝AB； ②若点D在点A的左侧，则线段AD，BE，AB有何数量关系？直接写出结论，不说理由． 1如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G， (1)求证：BF＝CG；(2)若AB＝7，AC＝3，求AF的长． 2.如图所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝DC，BD平分∠ABC．求证：∠BAD+∠C＝180°． 3.已知中，为的中点，平分于，连结，若，求的长 4.如图，已知AC∥BD