专题1-3 数轴动点问题中的最值-【高分突破系列】2023-2024学年七年级数学上册同步精品讲义与分层练习（人教版）

专题1-3 数轴动点问题中的最值 1 数轴上点移动规律 数轴上点表示的数为点向右移动个单位长度后到达点点向左移动个单位长度到达点；则点表示的数为，点表示的数为； 【例】数轴上点表示数为，点点出发，沿数轴向正方向移动，速度为单位/秒，则秒后两点间的距离为，点表示的数为. 点点出发，沿数轴向负方向移动，速度为单位/秒，则秒后两点间的距离为，Q点表示的数为. 2 数轴上两点间距离 数轴上两点代表的数分别为； 当时，；当时，. 简记：大数减小数. 【例】① 数轴上点表示的数为，点表示的数为，则线段； ② 数轴上点表示的数为，在点右侧的点表示的数为，则线段； ③ 数轴上点表示的数为，点表示的数为，则线段； 3 数轴上两点间中点表示的数 如图，的中点，则 则，即，即。 【例】 ① 数轴上点表示的数为，点表示的数为，则线段中点表示的数为； ② 数轴上点表示的数为，点表示的数为，则线段中点表示的数为. 4 绝对值 (1) 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义:在数轴上对应点到原点的距离. (2) 去绝对值等式 【例】 ；当时，；当时，； 【题型1】 双个绝对值的最值 【典题1】阅读下列材料：我们知道a的几何意义是在数轴上数a对应的点与原点的距离数轴上数a与数0对应点之间的距离，|a|＝|a﹣0|这个结论可以推广为：|a﹣b|均表示在数轴上数a与b对应点之间的距离，例：已知|a﹣1|＝2，求a的值 解：在数轴上与1的距离为2点的对应数为3和﹣1，即a的值为3和﹣1． 仿照阅读材料的解法，解决下列问题： (1)已知|a+2|＝4，求a的值； (2)若数轴上表示a的点在﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为 ； (3)当a满足什么条件时，有最小值，最小值是多少？ 【巩固练习】 1.已知数轴上的点A，B所对应的数分别为﹣2，6，点Q是数轴上的动点，且对应的数为x． 点Q到点A和点B的距离和的最小值是 　 　； 2.如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB＝14．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒． (1)写出数轴上点B表示的数 ，点P表示的数 (用含t的代数式表示)； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？ (3)若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+6|+|x﹣8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 3.如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+(b﹣9)2＝0，c＝1． (1)a＝　 　，b＝　 　； (2)点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x　 　时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 　 　； 【题型2】 多个绝对值的最值 【典题1】 如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，请你利用数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和4两点之间的距离是 　 　，数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是 　 　； (2)数轴上表示x和﹣3的两点A、B之间的距离AB＝　 　，如果AB＝2，则x的值为 　　； (3)|x+1|+|x+2|+|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为 　 　； 【巩固练习】 1.如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，解答下列问题： (1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是 　 　，数轴上表示2和﹣5的两点之间的距离是 　 　． (2)数轴上表示x和﹣1的两点之间的距离是 　 　．(用含x的式子表示) (3)若x表示一个实数，则当x在什么范围内时，|x﹣1|+|x+3|有最小值？请写出x的范围及|x﹣1|+|x+3|的最小值． (4)当x为何值时，|x﹣1|+|x+3|+|x+5|有最小值？并求出该最小值． 2.点A，B在数轴上对应的数分别是a，b，其中a，b满足(a﹣4)2+|b+6|＝0． (1)求a，b的值； (2)数轴上有一点C使得，求点C所对应的数； (3)点D为A，B中点，O为原点，数轴上有一动点P，求PA+PB+PD﹣PO的最小值及点P所对应的数的取值范围． 3.附加题阅读下面一段文字： 在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号|AB|表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离|AB|． 例如：当a＝2，b＝5时，|AB|＝5﹣2＝3；当a＝2，b＝﹣5时，|AB|＝|﹣5﹣2|＝7；当a＝﹣2，b＝﹣5时，|AB|＝|﹣5﹣(﹣