空间向量与立体几何 全章复习与巩固练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

《空间向量与立体几何》全章复习与巩固 1.空间向量的基本运算： 运算类型 几何方法 运算性质 加法交换率： A 1.平行四边形法则： a a+b=b+a. OC=0A+0B=a+b a+b 向 加法结合率： b B 量 (a+b)+c=a+(6+c) 的 加 2,三角形法则： a a-b=a+(- 法 OB=0A+AB =a+b B AB+BC=AC a+b 4B+BA=0 向 量 的 三角形法则： a-b 的 b BA=0A-OB OB-04=AB 减 =a-6 a 法 a是一个向量，满足： 向 元(ua)=(2u)a a 量 入>0时，a与a同向： 2 (a+μ)a=元a+ua 的 入0时，1a与a异向： -2a 2(a+b=入a+元b 乘 入=0时，1a-0. 法 a6台a=a6 向 ab=b-a 量 1.a6是一个数： (2a)-b=a-(2b=(ab 的 a-b-alblcos(a.b): a (a+B)c=a-c+Bc 数 2.a=0,b=0或a⊥b acos0 量 a-aF 台a●b=0. 积 labsaHbl 2.用向量方法讨论垂直与平行 图示 向量证明方法 线线平行 a a∥b (allb) b (a,b分别为直线a,b的方向向量) 小五 线线垂直 alb (a⊥b) (a,b分别为直线a,b的方向向量) b a⊥n,即a·n=0 线面平行 (a是直线I的方向向量，n是平面a (lila) 的法向量). aln 线面垂直 a (a是直线I的方向向量，n是平面a (11a） 的法向量) 面面平行 u/∥v (a∥B) (4,y分别是平面，B的法向量) 面面垂直 w⊥y,即nv=0 (a⊥B) (“,分别是平面a,B的法向量) 2.用向量方法求角 图示 向量证明方法 C a cos0 = IAC·BD ACBD 异面直线所成的角 Db B (A,C是直线a上不同的两点，B, D是直线b上不同的两点) sin0=coslaul lallu 直线和平面的夹角 (其中直线l的方向向量为a,平面c 的法向量为4，直线与平面所成的角为 0,a与u的角为p) 水os0l-bo4.% ls 二面角 (平面a与B的法向量分别为n和 3,平面a与B的夹角为6) 要点诠释： ①当法向量n与n2的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角0的大小等于，2的夹角(，2)的大小。 ②当法向量，，2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角日的大小等于，，的夹角的补角 元-〈n,n2)的大小。 3.用向量方法求距离 图示 向量证明方法 - 点到平面的距离 (n为平面π的法向量) 与平面平行的直线到 平面的臣离 (n是平面π的公共法向量) A' A PA-m -1441- 两平行平面间的距离 (n是平面a,B的一个公共法向量) 【典型例题】 类型一：空间向量的概念及运算 例1.如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，M为AC与B,D的交点.若AB=a,AD=b,AA=c,则下 列向量中与BM相等的向量是() D1 *C1 B1 A. -a++c A1 D c.2a-2 n.-5+d A 【变式I】在四边形ABCD中，AB=DC,且AC·BD=O,则四边形ABCD是() A.矩形 B.菱形 C.直角梯形D.等腰梯形 类型二：空间向量的直角坐标运算 例2.已知空间三点A-2.0,2,B(-1,1,2,C(-3,0,4.设a=AB,b=AC (1)求3a-2b: (2)求a和b的夹角0的余弦值： (2)若向量ka+b与ka一25互相垂直，求k的值. 举一反三： 【变式】已知4及C三点坐标分别为2.-1,245--2,2，求点P坐标使得币-0C 【变式2】已知向量a=(2.4.x,=(2.2,若d-6,a1五，则x+y的值是() A.3或1 B.3或-1C.3 D.1 【变式3】设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0,则△BCD 是() A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定 类型三：共线和共面向量定理的应用 例3.已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O引向量OE=kOA,OF=kOB,OG=kOC,OH=kOD.求 证： (1)四点E、F、G、H共面： (2)平面AC∥平面EG· 举一反三： 【变式1】已知ā=3m-2n-4p≠0，万=(x+1)m+8i+2p,且m,元，币不共面.若a川b,求x,y的值. 【变式2】下列各组向量共面的是() A.a=(1,0,-10,b=(1,1,0),c-(0,1,1) B.a=(1,0,0,b=0,1,1),c-(00,1) C.a=(1,1,1),b-1,-1,0,c1,0,1) D.a=1,1,0,b-(1,0,1),c0,1,1)