精品解析：北京大学附属中学2022-2023学年高二下学期期末练习数学试题

2023年北大附中高二年级第二学期期末练习 数学 考 生 须 知 1.本试卷共4页，共三道大题，21道小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.在试卷和答题纸上准确填写学校、班级、姓名. 3.试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效. 4.考试结束，请将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分 选择题（共40分） 一、选择题.（每小题4分，共40分） 1. 若集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列结论中正确的是 A. B. C. D. 3. 已知向量满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 4. 已知函数满足：且（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截 得的弦长为2，则的离心率为 A. 2 B. C. D. 6. 标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为（ ） A. B. C. D. 7 如图，已知直线与曲线相切于两点，函数 ，则函数（ ） A. 有极小值，没有极大值 B. 有极大值，没有极小值 C. 至少有两个极小值和一个极大值 D. 至少有一个极小值和两个极大值 8. 某公司有家直营店，现需将箱货物运送至直营店进行销售，各直营店出售该货物以往所得利润统计如下表所示. 根据此表，该公司获得最大总利润的运送方式有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 9. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点是边长为2正方形所在平面内一点，若，则的最大值是（ ） A B. C. D. 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题.（每小题5分，共25分） 11. 展开式中，常数项的值为__________. 12. 在等比数列中，若则公比_______________； _______________. 13. 已知抛物线的准线为，与双曲线的渐近线分别交于A，B两点．若|AB|=4，则p=______． 14. 李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 15. 是边长为2的等边三角形，已知向量满足，则下列结论中正确的是______.（写出所有正确结论得序号） ①为单位向量；②为单位向量；③；④；⑤. 三、简答题.（共85分） 16. 在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面．D，E分别是边BC，AC的中点，线段与交于点G，且，． （1）求证：∥平面； （2）求证：⊥平面； （3）求二面角的余弦值． 17. △ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC． （1）若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC； （2）若，且BD＝3CD，求cos∠CFB． 18. 某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表： 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A个数 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A个数 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数． （Ⅰ）求X的分布