21.2 解一元二次方程讲义 讲义 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第二十一章 第2课时 解一元二次方程讲义 新知 & 练习 知识点1　用直接开方法解一元二次方程：针对x2＝p，(x＋h)2＝p(p≥0)形式． 类型1 　形如x2＝p(p≥0)，则x＝± 例1　 用直接开平方法解下列方程： (1)x2＝49；　　 类型2　形如(x＋h)2＝p(p≥0)，则x＋h＝± 例2　用直接开平方法解下列方程： (1) (x－1)2＝4； (2)x2－3＝0． (2)3(x＋3)2＝27． 知识点2 配方法：利用完全平方公式把方程转化为(x＋a)2＝p(p≥0)形式．1．配方：将代数式配成完全平方的形式：完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2． 2．填空：(1)x2＋8x＋______＝(x＋_____)2； (2)x2－6x＋_____＝(x－_____)2； 3．尝试用配方法解方程：x2＋4x＋4＝16． 解：首先等号左侧易配方，得__________＝16， 再用直接开平方法，得x＋_____＝_______，即x1＝_____，x2＝_______． 4.用配方法解一元二次方程：解方程x2－8x＋7＝0，步骤如下： 【移项】常数项在右，含未知数的项在左：x2－8x＝_______； 【配方】方程两边同时加上_____：x2－8x＋_____＝－7＋_____； 【写平方形式】方程左边写成平方形式，右边合并同类项：(________)2＝_____； 【开平方】用直接开平方法解方程：x1＝_____，x2＝_____． 类型2　a≠1时 例2　用配方法解方程：4x2－8x＋1＝0． 类型1　a＝1时 例1　 用配方法解方程：x2＋2x－2＝0． 注：用配方法解一元二次方程时首先要把二次项的系数化为1 知识点3 公式法1．请用配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 解：移项，得_______________． 系数化为1，得________________． 配方，得__________________________，即_________________． 用公式法解一元二次方程 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式：Δ＝b2－4ac． (1)当Δ＞0时，方程有两个________的实数根； (2)当Δ＝0时，方程有两个________的实数根； (3)当Δ＜0时，方程____________． 类型3　Δ＜0⇒方程无实数根 例3　用公式法解方程：3x2＋2x＝7x－4． 类型1　Δ＞0⇒x1≠x2 例1　用公式法解方程：x2＋5x＋3＝0． 知识点4 因式分解法1．因式分解：(1)ax＋bx＝___________； (2)a2＋2ab＋b2＝__________； (3)a2－b2＝_______________；(4)a2－6a＋9＝__________；(5)2a2－8＝________________． 2．(1)若A·B＝0，则A＝____或B＝____；(2)用上面的知识解方程：(x－3)(x＋2)＝0． 解：(x－3)(x＋2)＝0．于是得________＝0，或________＝0，即x1＝_____，x2＝_______． 3．解方程：（1）x(x－7)＝8(7－x). （2）x2－2x－3＝0. （3）(1－2x)2＝x2. （4）(2x－1)2＝2(1－2x)－1. 知识点5 根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1＝_____________，x2＝_______________，则x1＋x2＝________，x1x2＝______． 类型1　利用根与系数的关系求值 例1　已知x1，x2是方程x2－6x＋5＝0的两个根，求x1＋x2及x1x2的值． (2)(x1－x2)2． 类型2　利用根与系数的关系求参数的值 例3　若x＝－2是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是（ ） (　　) A．0，－2 B．0，0 C．－2，－2 D．－2，0 变式1．设x1，x2是关于x的方程3x2－kx－8＝0的两个根，且x1＝ 1－x2，则k的值为_____． 能力 & 素养 1. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 2. 设是一元二次方程的两根，则．(    ) A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    ) A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 5. 在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金