21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件2022-2023学年人教版九年级数学上册

新知一览 一元二次方程 解一元二次方程 一元二次方程 直接开平方法 配方法 实际问题与一元二次方程 公式法 因式分解法 一元二次方程的根与系数的关系 传播问题 几何图形 平均变化率 *21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 掌握一元二次方程的根与系数的关系 不解方程，利用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题。 一元二次方程的根与系数的关系 证明：如果ax2+bx+c=0(a ≠ 0）的两个实数根为x1和x2 ，那么 x1+x2= , x1x2= 证明： 注：b2 - 4ac≥0 ↗ 总结 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）： 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1， x2，那么 注意：满足上述关系的前提条件是 b2 - 4ac≥0. 一元二次方程的根与系数的关系的应用 例1 利用一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 – 6x – 15 = 0； 解： a = 1，b = – 6， c = – 15. Δ = b2 - 4ac = ( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么 x1 + x2 = – ( – 6 ) =6， x1 x2 = - 15. （2）3x2 + 7x - 9 = 0； x1 + x2 = − ， x1 x2 = 解：a = 3，b = 7，c = -9. Δ = b2 − 4ac = 72 – 4×3×( − 9 ) = 157 > 0， ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 (3) 5x – 1 = 4x2. 解：方程可化为 4x2 – 5x + 1 = 0. a = 4，b = – 5，c = 1. Δ = b2 − 4ac = ( – 5 )2 – 4 × 4 ×1 = 9 > 0. ∴ 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 + x2 = ，x1 x2 = . 总结 求两根之和、两根之积的步骤： 化为一般式 → 判断 Δ≥0 → 代入 a、b、c 例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值. 解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 所以 x1·x2 = 2x2 = ， 即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7. 答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7. 变式：已知关于 x 的方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值. 解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1= 1. 所以 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， 即 x2 = 5 . 由于 x1·x2 = 1×5 = ， 解得 m = 15. 答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15. 例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和. 解：根据根与系数的关系可知 巩固练习 （1）x1+x2= , (2) x1·x2= , (3) , (4) . 4 1 12 14 设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: 当堂练习 1. 解下列方程： （1）x2- 3x = 15； （2）3x2 + 2 = 1- 4x； （3）5x2- 1 = 4x2+x ； （4）2x2 -x+2 = 3x + 1 ； 【教材P16练习】 解：设方程的两根分别为x1, x2. 方程可化为x2- 3x – 15 = 0. x1+x2= -(-3) = 3, x1x2 =-15. 设方程的两根分别为x1, x2. 方程可化为3x2 +