初升高之一元二次不等式 讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

初升高之一元二次不等式 资料编号：202308161456 本节衔接概况 在初中阶段，我们比较详细地学习了二次函数的图象及其性质，通过学习我们 知道二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间具有非常紧密的联系. 如二次函数y=ar2+bx+ca≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方 程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根；一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集， 就是二次函数y=ar2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴上方的部分所对应的自变量 的取值范围.但是，在初中阶段，我们并没有给出一元二次不等式的具体解法，而这 却是高中学生必须具备的基础技能，为此，我们有必要学习一下一元二次不等式的 解法，为高中后续课程的学习打下坚实的基础. 一元二次不等式的定义 我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次 不等式.即形如ar2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)（其中a≠0）的 不等式叫做一元二次不等式 一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合， 叫做这个一元二次不等式的解集。 注意：一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式. 一元二次不等式、一元二次方程以及二次函数的关系 一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧 密的联系 元二次方程ax2+bx+c=0a≠0)与二次函数y=ar2+bx+c=0a≠0)的 关系是： (1)当△=b2-4ac≥0时.一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0)有实数根，二次函 数y=ax2+bx+c=0(a≠0)的图象与x轴有交点，且方程的解是交点的横坐标交 点的横坐标亦是方程的解： 第1项 ①当△>0时，一元二次方程ar2+bx+c=0a≠0)有两个不相等的实数根，二次函 数y=am2+bx+c=0a≠0)的图象与x轴有两个不同的交点： ②当△=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，二次函数 y=ar2+bx+c=0a≠0)的图象与x轴只有一个交点. (2)当△=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根，二次函 数y=ar2+bx+c=0a≠0)的图象与x轴没有交点 具体关系见下页表(1)所示 一元二次不等式与二次函数y=ax2+bx+c=0a≠0)的关系是： (1)一元二次不等式x2+bx+c>0(≥0)的解集就是二次函数 y=ax2+bx+c=0(a≠0)的图象位于x轴上方（包括x轴）的部分所对应的自变 量的取值范围： (2)一元二次不等式r2+br+c<0(≤0)的解集就是二次函数 y=ax2+br+c=0(a≠0)的图象位于x轴下方（包括x轴）的部分所对应的自变 量的取值范围 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是： (1)利用不等式的性质，将二次项系数化为正数： (2)计算△=b2-4ac的值，并判断△的符号； (3)当△≥0时，求出相应的一元二次方程的根： (4)画出对应的二次函数的简图： (5)根据一元二次不等式的形式，结合简图，写出其解集 注意：一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系 其中，①当△>0时.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集在两根之外”，即 “大于大根或小于小根”：一元二次不等式ax2+bx+c<0a>0)的解集在“两根之 内”，即“大于小根且小于大根”，简记为大于0取两边，小于0取中间 第2项 ②当△=0时，一元二次不等式ar2+bx+c>0a>0)的解集为 ；元 二次不等式ax2+br+c<0(a>0)的解集为2 ③当△<0时，一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集为R一元二次不等式 ar2+bx+c<0a>0)的解集为2 表(1)一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系： 判别式A=b2-4aC △>0 △=0 △<0 二次函数 y=ar2+br+c=0(a≠0) 的 图象 (a>0) 图象说明 图象与x轴有两个不 图象与x轴只有一个 图象与x轴没有交点 同的交点 交点（顶点在x轴上） 一元二次方程 有两个不相等的实数 有两个相等的实数根 没有实数根 ar2+br+e=0a≠0的解 根 b X1=x2=- x1≠X2 ax2+br+c>0(a>0的解集 xr<x,或x>x 体* R ar2+br+c<0(a>0的解集 xx<x<x 0 0 由上表可知：一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解 一元二次不等式在R上恒成立的问题 a>0 (1)ar2+bx+c>0在R上恒成立，则有： a=b=0 或 △=b2-4ac<0c>0 [a<0 (2)ar2+br+c<0在R上恒成立，则有：