1.5全称量词与存在量词 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5全称量词与存在量词 我们知道，命题是可以判断真假的陈述句.在数学中,有时会遇到一些含有变量的陈述句，由于不知道变量代表什么数，无法判断真假，因此它们不是命题，但是，如果在原语句的基础上，用一个短语对变量的取值范围进行限定，就可以使它们成为一个命题，我们把这样的短语称为量词. 本节将学习全称量词和存在量词，以及如何正确地对含有一个量词的命题进行否定. 学习前言 思考 下列语句是命题吗?比较 (1)和 (3)，(2)和 (4)，它们之间有什么关系? (1)x>3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R，x>3; (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universal quantifier)，并用符号“ ”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 (universal proposition) 通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，...表示，变量x的取值范围用M表示. 那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 全称量词与全称量词命题 例1 判断下列全称量词命题的真假: (1)所有的素数都是奇数; (2) (3)对任意一个无理数x，x2也是无理数. 全称量词与全称量词命题 思考 下列语句是命题吗?比较 (1) 和 (3)，(2)和 (4)，它们之间有什么关系? (1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除; (3)存在一个x∈R，使2x+1=3; (4)至少有一个x∈Z，x 能被 2和3 整除. 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existential quantifier)，并用符号“ ”表示. 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题(existential proposition). 存在量词命题“存在M中的元素 x，p(x)成立”可用符号简记为 存在量词与存在量词命题 例2 判断下列存在量词命题的真假: (1)有一个实数x，使x2+2x+3=0; (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线; (3)有些平行四边形是菱形. 存在量词与存在量词命题 命题的否定 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定. 小试牛刀 “56是7的倍数的否定为: “空集是集合A={1，2，3｝的真子集”的否定为: 思考 原命题与它的否定的真假有什么关系？ 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假. 探究 写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)对任意x∈R，x+lxl>0. 它们与原命题在形式上有什么变化? 存在一个矩形不是平行四边形; 存在一个素数不是奇数; 存在x∈R，x+lxl<0. 变量词！ 全称量词命题的否定 对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论: 全称量词命题: 它的否定: 也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. 全称量词命题的否定 例3 写出下列全称量词命题的否定 (1)所有能被3整除的整数都是数; (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆上; (3)对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3. 探究 写出下列命题的否定: (1)存在一个实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3)存在x∈R，x2-2x+3=0. 它们与原命题在形式上有什么变化? 变量词！ 所有实数的绝对值都不是正数;每一个平行四边形都不是萎形; 对任意x∈R，x2-2x+3=0. 对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论: 存在量词命题: 它的否定: 也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题. 存在量词命题的否定 存在量词命题的否定 例4 写出下列存在量词命题的否定: (1) (2) 有的三角形是等边三角形; (3) 有一个偶数是素数. 例5 写出下列命题的否定，并判断真假 (1)任意两个等边三角形都相似; (2) 课堂练习 1.判断下列全称量词命题的真假: (1)每一个末位是0的整数都是5的倍数； (2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; 对任意负数x,x的平方是正数; (4)梯形的对角线相等. 课堂练习 2.判断下列存在量词命题的真假 (1)有些实数是无限不循环小数; (2)存在一个三角形不是等腰三角形; (3)有些菱形是正方形; (4)至少有一个整数n，n+1是4的倍数. 课堂练习 3.写出下列命题的否定: (1)对任意x∈Z，lxl∈N; (2)所有可以被5整除的整数，末位数字都是0; (3)存在x∈R，x+1≧0; (4)存在一个四边形，它的对角线互相垂直. 课堂练习 4.将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式，并写