1.1.1空间向量及其线性运算 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.1.1空间向量及其线性运算 数学·选择性必修第一册 想象一个滑翔伞运动的场景，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，如绳索的拉力、风力、重力等，这些力在同一平面内吗？ 我们知道，力 是既有大小又 有方向的量， 在数学上， 我们把这些 力称为什么？ 情景导入 生活中的“空间向量” 新知1：空间向量及相关概念 1、空间向量的定义及表示 （1）定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量. （2）长度或模：空间向量的大小叫做空间向量的模(长度)， 记作：||,||,… （3）几何表示：用有向线段表示 ；符号表示：,… 2、几类常见的空间向量 零向量：长度为0的向量，记作. 单位向量：模为1的向量. 相反向量：长度相等且方向相反的向量. 的相反向量是-；的相反向量是 共线（平行）向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量. 新知探究 任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量.所以，任意两个空间向量的运算可以转化为平面向量的运算. 相等向量：方向相同且模相等的向量.同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 新知2：空间向量的线性运算 加法： (三角形法则，首尾接) (平行四边形法则，同起点) 减法： (三角形法则，同起点/指向被减向量) 数乘： (结果仍是一个向量) 交换律： 结合律： 分配律： 例1 (多选题)下列说法正确的是(　　) A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量 B.零向量没有方向 C.若a是单位向量,则|a|=1 D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则一定有m=p 解析 单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有|a|=1,即选项C正确; 由向量相等的定义,知m与p方向相同,模相等,故一定有m=p,选项D正确. CD 典型例题 练习1 给出下列说法： ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若空间向量 满足 ，则 ； ③若向量m,n,p满足m=n,n=p,则一定有m=p； ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤在如图1所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 ； ⑥如图2所示，平行六面体ABCD-A‘B‘C‘D‘的所有棱对应的向量中，与 相等的向量有3个. 其中正确的是 .（填序号） ③⑤⑥ 例2 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量表达式：① ② ③ . A1 B1 C1 D1 A B C D 练习2 （1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量 的是（ ） A. B. C. D. CD （2）如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设 ＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1) ；(2) ；(3) ＋. 解：(1)因为P是C1D1的中点，所以＝＋＋ ＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b. (2)＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3) ＝ ＋ ＝ ＋ －a＋ （a+b+c)＝a＋b＋c， ＝＋＝＋＝＋＝c＋a， 所以＋＝(a＋b＋c)＋(c＋a)＝a＋b＋c. 新知3：共线向量及其判断 共线(平行)向量：(定义1)若干有向线段所在直线互相平行或重合的空间向量； (定义2)若干方向相同或相反的空间向量； 向量共线的充要条件：对于任意两个空间向量 ，