专题3.3 抛物线-2023-2024学年高二数学知识•考点培优讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.3 抛物线 知识点一 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点二 抛物线的标准方程及几何性质 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点三 直线和抛物线的位置关系 （1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得[来源:Z*xx*k.Com] 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 知识点四 焦半径、焦点弦 1.通径 过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p__． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 焦半径|AF| |AF|＝__x0＋__ |AF|＝__－x0__ |AF|＝__y0＋__ |AF|＝__－y0__ 3．焦点弦问题 如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l． (1)以AB为直径的圆必与准线l__相切__； (2)|AB|＝2(x0＋)＝x1＋x2＋__p__； (3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2． 考点01 抛物线定义的应用 【典例1】（2023春·江苏盐城·高二校联考阶段练习）抛物线的焦点到准线的距离是（    ）. A． B． C．2 D．4 【典例2】（2023春·河南省直辖县级单位·高二校考阶段练习）抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（    ） A． B． C． D．0 【典例3】（2023春·四川广元·高二广元中学校考期中）已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，与准线相交于点，且点A为的中点，求 ． 【总结提升】 1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用． 3.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用． 考点02 抛物线的标准方程 【典例4】（2023秋·高二课时练习）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（    ） A．或 B．或 C． D． 【典例5】（2022秋·江苏淮安·高二统考期中）已知抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为 . 【典例6】（2023秋·高二课时练习）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为； (2)焦点在直线上． 【规律方法】 1.求抛物线标准方程的方法： ①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p． ②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my． 2．求抛物线方程应注意的问题 (1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定． (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 考点03 抛物线的焦点及准线 【典例7