专题3.2 勾股定理的经典实际应用（五大题型）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题3.2 勾股定理的经典实际应用（五大题型） 重难点题型归纳 【题型1 梯子滑落问题】 【题型2 树枝旗子折断问题】 【题型3 航海是否有影响问题】 【题型4 风吹荷花问题】 【题型5垂美四边形问题】 （1）构造直角三角形解决问题； （2）垂美四边形 【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形. 【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD， 则①AB²＋CD²＝AD²＋BC². ②S四ABCD＝ AC·BD 【题型1 梯子滑落问题】 【典例1】某校秉承“学会生活，学会学习，学会做人”的办学理念，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教室的黑板上面（如图所示）．在三月雷锋活动中小明搬来一架梯子（AE＝5米）靠在宣传牌（AB）A处，底端落在地板E处，然后移动的梯子使顶端落在宣传牌（AB）的B处，而底端E向外移到了1米到C处（CE＝1米）．测量得BM＝4米．求宣传牌（AB）的高度（结果用根号表示）． 【变式1-1】如图，在垂直于地面的墙上离地面4m的A点斜放一个长5m的梯子，由于摆放不小心，梯子在墙上下滑1m．则梯子在地面上滑出的距离BB'的长度是 　　m． 【变式1-2】如图，某火车站内部墙面MN上有破损处（看作点A），现维修师傅需借助梯子DE完成维修工作．梯子的长度为5m，将其斜靠在这面墙上，测得梯子底部E离墙角N处3m，维修师傅爬到梯子顶部使用仪器测量，此时梯子顶部D距离墙面破损处1m． （1）该火车站墙面破损处A距离地面有多高？ （2）如果维修师傅要使梯子顶部到地面的距离为4.8m，那么梯子底部需要向墙角方向移动多少米？ 【变式1-3】如图，一架长10米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙（BO）6米 （1）此时梯子顶端A离地面多少米？ （2）若梯子顶端A下滑3米到C处，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D处？ 【变式1-4】如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB． （1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝　　米． （2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB； （3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°． ①求∠MPN的度数； ②求丙房间的宽AB． 【变式1-5】如图，将长为2.5米长的梯子AB斜靠在墙上，BE长0.7米． （1）求梯子上端到墙的底端E的距离（即AE的长）； （2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米（即AC＝0.4米），则梯脚B将外移（即BD长）多少米？ 【变式1-6】如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端距离墙顶的距离AB为0.6米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端距离墙顶的距离DE为1米，则墙的高度为多少米？ 【题型2 树枝旗子折断问题】 【典例2-1】（2023春•鹤山市校级期中）在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？ 【典例2-2】（2023春•南宁期中）如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现8．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度． 【变式2-1】如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A处4m． （1）求旗杆距地面多高处折断； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处再次吹断，此时旗杆顶部到旗杆底部的距离？ 【变式2-2】如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个记号，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面处，发现此时绳子底端距离记号处1米，则旗杆的高度是多少米？ 【变式2-3】如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB． 【题型3 航海是否有影响问题】 【典例3-1】（2023春•黄冈期中）如图所示，某港口位于东西方向