第二章第01讲 有理数、数轴、绝对值（知识+题型，重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

第01讲 有理数、数轴、绝对值（重难点） 【知识点一、正数和负数】 1．用正负数表示相反意义的量 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数． 2．正数 像30、+6、、这样的数叫做 ，正数都 零； 3．负数 在正数前面加上“”号的数叫做 ，负数都 零，比如：、、、． 【说明】（1）一个数前面的“+”“”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “”不能省略． （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线． 【知识点二、有理数的概念及分类】 1．有理数 与 统称为有理数． 2．有理数的分类 （1）有理数按性质分类： （2）有理数按符号分类 【注意】以下几个概念的区分 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． 【知识点三、数轴】 1．数轴 数轴是一条规定了 、 和 的直线． 【注意】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素 ①原点：表示数0的点； ②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度. 2．数轴的画法 （1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 【注意】画数轴的常见错误 ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想 ①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系； ②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 【知识点四、相反数】 1．定义 如果两个数 符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0． 【注意】（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 2．性质 （1）代数性质：若a与b互为相反数，则；反之，若，则a与b互为相反数． （2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． 3．多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“—”号的个数来确定； 若有偶数个时，化简结果为正，如—{—[—(—4)]}=4 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如—{+[—(—4)]}=—4。 【说明】（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5． （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3． 【知识点五、绝对值】 1．定义 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的 ，记作． 2．绝对值运算 一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；0的绝对值是 ． 3．绝对值的性质 （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注意】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如，若，则，，． 【知识点六、有理数的大小比较】 1．数轴法 在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2．法则比较法 （1）两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 （2）利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： ①分别计算两数的绝对值； ②比较绝对值的大小； ③判定两数的大小． 3．作差法 设a、b为任意数，若a-b＞0，