2.3基本初等函数 讲义-2024届高三熟数学一轮复习

2.3基本初等函数 【学习目标】 1、掌握二次函数图像特征以及二次函数中的恒成立问题 2、理解幂函数的定义，能够根据幂函数的类型求参数 3、熟练掌握指数的运算、指数函数的图象及其性质 4、掌握指数函数复合函数的单调性及值域求解 5、掌握对数运算中的化简求值问题 6、掌握对数函数的图象及其性质，并熟悉指对数函数图象的对比 【题型分解】 （一）二次函数 1、二次函数图像与性质： 图象 定义域 R 值域 单调性 在 上单调递减，在 上单调递增 在 上单调递增，在 上单调递减 奇偶性 当时为偶函数； 当时既不是奇函数也不是为偶函数 图像特点 ①对称轴： ；②顶点 2、一元二次不等式恒成立的条件： （1）恒成立的充要条件是 （2）恒成立的充要条件是 例题1 设函数，若，，则关于x的方程的解的个数为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 3 例题2 已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围。 例题3 若函数在区间上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围。 练习3-1 求函数在区间上的最小值。 例题4 不等式对一切R恒成立，则实数的取值范围 （二）幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数． （2）幂函数的图象 ①过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 ． ②时，函数在是 ；时，函数在是 ； 例题5 已知点在幂函数的图像上，设，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 例题6 （1）幂函数在上是减函数，则的解析式是 （2） 设则使函数的定义域为R且为奇函数的所有的值_______________ （三）指数计算与指数函数 1、分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：且． 0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是：且． 0的负分数指数幂没有意义． 2、运算性质 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 3、函数且叫做指数函数 4、的图像与性质 图 像 ( y x 1 O ) ( y x 1 O ) 性质 定义域 值域 定点 各区间取值 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 例题7 计算： . 例题8 已知， （1）； （2）； （3）. 例题9 设，，，则的大小关系是( ) A. B. C. D. 例题10 对于实数且，函数的图象过定点　 　． 练习10-1 若，则函数的图象不经过第　 　象限． 例题11 函数的定义域_________. 例题12 函数() (-3) 的值域为________________. 练习12-1 设函数，则满足的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例题13 （1）函数的单调递增区间是_____________. （2）函数的单调递减区间是_____________. （四）对数计算与对数函数 1、对数的定义 ①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：． 2、几个重要的对数恒等式 ，，． 3、常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）． 4、对数的运算性质 如果，那么 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： 5、对数函数定义：函数且叫做对数函数 6、对数函数图像 对数函数 图 象 表达式 定义域 值 域 过定点 单调性 例题14 有以下4个等式(其中且)，正确的是 ( ) A. B.