3.2.2双曲线的简单几何性质（第1课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2 双曲线的简单几何性质 人教A版（2019）选择性必修第一册 学习目标 1. 掌握双曲线的简单几何性质。 2. 运用解析法（坐标法）研究双曲线的几何性质，并能利用几何性质解决相关问题。 3. 核心素养：逻辑推理、数学抽象、数学运算 一、复习导入 双曲线的概念及其标准方程 定义：一般地，我们把平面内与两个定点, 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于||）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间距离叫做双曲线的焦距. 双曲线的标准方程：①焦点在： 1 (0). ②焦点在： 1 (0). 二、新课讲授 1、双曲线的范围 问题1 类比椭圆，我们应从哪些方面去研究双曲线的几何性质？ 分析：分别从“形”和“数”的角度，研究范围、对称性、顶点、离心率等. 有没有双曲线所特有的性质？ 追问1 观察直角坐标系中的双曲线，你能从图上看出它的范围吗？你能利用它的方程给出证明吗？ 分析：从“形” 的角度观察 ， ∈ . 焦点在的双曲线： 1 (0). 双曲线上的点的横坐标的范围是 ，纵坐标的范围是∈ . 分析：从“数” 的角度证明. 由双曲线的标准方程可知： 1 ，即=1+ 1， 所以，双曲线上点的横坐标都适合不等式：1， 即 . 纵坐标的范围是∈ . 2、对称性 问题2 请同学们思考双曲线具有怎样的对称性？ 分析：从“形” 的角度观察，双曲线既关于坐标轴对称又关于原点对称. 分析：从“数” 的角度证明. 在双曲线的标准方程1 (0)中，以代，方程不变.这说明当点在双曲线上时，它关于的对称点也在双曲线上，所以双曲线关于对称. 同理，以代，方程不变.这说明当点在双曲线上时，它关于的对称点也在双曲线上，所以双曲线关于的对称. 综上，双曲线关于、 都对称.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 以代，以代，方程都不变.这说明当点在双曲线上时，它关于的对称点也在双曲线上，所以双曲线关于的对称. 3、顶点 问题3 类比椭圆，你觉得双曲线有哪些比较特殊的点？你能通过双曲线的方程得到这些点的坐标点吗？ 分析：双曲线与坐标轴的两个交点. 在双曲线的标准方程1 (0)中，令=0，得=± .因此, 是双曲线与轴的两个交点. 同理，令=0， = ，没有实数解，所以双曲线与轴没有交点. 追问1 能否把, 画在轴上？ 1 (0) 实轴：线段 虚轴：线段 综上，, ， 这两个与轴交点叫做双曲线的顶点. 线段， 分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别等于和， 和分别叫做双曲线的实半轴长和虚半轴长. 追问2 , , 这四点有何用处？ ²= ²+ ² 沿着实轴和虚轴可得一个矩形. 11 4、渐近线 问题4 在双曲线1的右支上取一点，测量的横坐标以及它到直线 0的距离.沿曲线向右上方拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？ 可以发现， 点的横坐标越来越大， 越来越小，但是始终不等于0，即双曲线与直线越来越接近，但永不会相交. 根据对称性，可知双曲线与直线 0也是越来越接近. 定义：一般地，双曲线1 (0)的两支向外延伸时，与两条直线0逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线.实际上，双曲线与它的渐近线无线接近，但永不相交. 在双曲线1 (0)中，如果= ，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于.这时，四条直线 ， 围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线. 5、离心率 问题5 双曲线的离心率是什么？椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 类比椭圆，双曲线的离心率为. 因为0，所以双曲线的离心率＞1. 反映双曲线“张口”的大小. ∵ 1+ ， ∴= 越大，渐近线的斜率越大，线越陡，双曲线“张口”越大； 而我们还知道，渐近线的斜率 越小，渐近线的斜率越小，线越平缓，双曲线“张口”越小. 追问1 已知双曲线的标准方程，如何求双曲线的渐近线？ 令0， 分析：焦点在1 (0)的0 则0， 即得渐近线 标准方程 1 1 性 质 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率 1 1 17 三、巩固新知 例1 求双曲线的实半轴和虚半轴的长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把双曲线方程化为标准方程，得 1 ， 于是实半轴长= 4，虚半轴长=3， == =5. 焦点坐标为(0,-5),(0,5)， 离心率= = 渐近线方程为= 四、课堂小结 1、从“形”和“数”的角度研究双曲线的简单几何性质 五、作业布置 课本P124：练习 第3、4题 2、体会并学会运用类比、数形结合的数学思想 Lavf5