2.2基本不等式(一)课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.1 基本不等式（一） 温故知新 性质1 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b. 即 性质2 如果a>b，b>c，那么a>c. 即 a>b ，b>ca>c. 性质3 如果a>b，那么a+c>b+c. 温故知新 性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. 性质5 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d. 性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. 性质7 如果a>b>0，那么 新课导入 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？本节就来研究这个问题。 新课讲授 新课讲授 通常称不等式(1)为基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，正数a，b的几何平均数。 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 即： 新课讲授 上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式。能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下。 新课讲授 要证：① 只要证：② 要证②，只要证： ③ 要证③，只要证：④ 要证④，只要证： 显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立。 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了。 新课讲授 探究： 在图2.2-1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 新课讲授 如图2.2-1，可证△ACD∽ △DCB，因而CD=由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为 显然，当且仅当点C于圆心重合，即当a=b时， 上述不等式的等号成立。 典例精析 例1 已知x>0，求的最小值。 分析：求的最小值，就是要求一个都有.观察，发现不等式，可以利用正数和的算数平均数与几何平均数的关系得到=2. 典例精析 解：因为x>0，所以 当且仅当即，，等号成立，因此所求的最小值为2. 典例精析 例2 已知x，y都是正数，求证： (1)如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值； 证明：因为x，y都是正数，所以 当积xy等于定值P时， 所以， x+y 当且仅当x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，和x+y有最小值 典例精析 (2)如果x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值 证明：当 x+y等于定值S时， 所以， xy， 当且仅当， x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，积xy有最大值 课堂练习 课堂练习 课堂小结 通常称不等式(1)为基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，正数a，b的几何平均数。 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 即： $$