5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第 5 章 三角函数 人教A版2019必修第一册 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 01. 02. 应用公式求值 目录 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式． 2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法. Topic. 01 01 复习导入 复习导入 cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ 两角差的余弦公式 公式要诀：“余余正正符号反” 简记为：C(α－β) Topic. 02 02 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和的余弦公式 探究1：由公式 出发 ， 你能推导出两角和的余弦公式吗？ 下面以公式 为基础来推导两角和的余弦公式． 比较 与 ，并注意到 与之间的联系 ：＝ 则由公式 ， 有= ＝+ = 于是得到了两角和的余弦公式 ， 简记作 C（α ＋ β ） ． =． 公式要诀：“余余正正符号反” 两角和与差的正弦公式 探究2:我们已经得到了两角和与差的余弦公式，那么怎样利用已推出公式得到正弦公式呢？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？请你试一试． 两角和的正弦公式 S(α＋β)： 诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化； 两角和与差的正弦公式 然后用－β替换上式中的β可得 两角和的正弦公式S(α－β) ： 两角差的正弦公式S(α－β) 公式要诀：“正余余正符号同” 两角和与差的正切公式 探究3:你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从S(α±β) ， C(α±β) 出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α＋β)， tan(α－β)的公式吗？ 思考：这里三个角有什么要求? 简记为T(α＋β)． 两角和与差的正切公式 上式中以代替，得 两角和的正切公式T(+)： 两角差的正切公式T(α－β)： Topic. 03 03 公式应用 名称 公式 简记符号 条件 两角和的余弦 cos(α＋β)＝ C(α＋β) α，β∈R 两角和的正弦 sin(α＋β)＝ S(α＋β) α，β∈R 两角差的正弦 sin(α－β)＝ S(α－β) 两角和的正切 tan(α＋β)＝ T(α＋β) α，β，α±β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的正切 tan(α－β)＝ T(α－β) 应用 两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、余弦和正切公式 应用 3. 给角求值 应用 4. 给角求值 应用 给角求值问题 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. (2)一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变用公式. 方法总结 给角求值 应用 给值求值 类型一：直接法求值 1.已知 ， ，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α+β)的值. 因为α为第一象限角，β为第二象限角， ， 所以， 所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β 应用 2. 已知，是第四象限角，求的值 ． 解 ： 由 ，是第四象限角， 得 所以 = = - 于是有 )= 给值求值 应用 )= 7 给值求值 应用 类型二：拆角凑角 3.已知则________. 给值求值 应用 给值求值的方法 (1)直接法：当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. (2)拆角凑角：将未知角拆分成已知角的和差，即将未知角用已知角表示出来，使之能直接代入已知条件. 常见的有：α=(α+β)-β，α=β-(β-α)， α+β=(2α+β)-α，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等. 方法总结 给值求值 给值求角 1.若所求角为第一象限角，求正弦余弦均可。 2.若所求角为一、二象限角，求余弦值。 3.若所求角为一、四象限角，求正弦值。 应用 给值求角 应用 给值求角 应用 给值求角 应用 给值求角 Topic. 04 04 课堂小结 课堂小结 总结： 1.两角和与差的余弦、正弦和正切公式。 2.应用公式求值。 名称 公式 简记符号 条件 两角和的余弦 cos(α＋β)＝ C(α＋β) α，β∈R 两角和的正弦 sin(α＋β)＝ S(α＋β) α，β∈R 两角差的正弦 sin(α－β)＝ S(α－β) 两